The Bessel equation of order zero is
c. Show that one solution for
is
The function
is known as the Bessel function of the first kind of order zero.
Passo 1
Estamos com a equação de Bessel de ordem zero
e queremos mostrar que uma solução para
é
Para isso, vamos usar série de potências (método de Frobenius) e obter a recorrência dos coeficientes.
Passo 2
Assumimos uma solução em série de potências do tipo
. Calculamos as derivadas:
Passo 3
Substituímos
na equação de Bessel e fatoramos
. Alinhando as potências de
, o termo de menor grau dá a equação indicial:
Logo
Passo 4
Com
, agrupamos o coeficiente de
para
e obtemos:
que leva à recorrência
Passo 5
Escolhemos as constantes iniciais para obter a solução de primeira espécie (função de Bessel de primeira espécie):
(normalização) e
(para termos apenas potências pares). A recorrência espalha esses valores para todos os
.
Passo 6
Para
temos via recorrência
Assim, a solução fica
Passo 7
Reconhecemos essa série como a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero, ou seja,
.
Resposta
J_{0}(x)=1+\sum_{n=1}{\infty}\frac{(-1){n}x{2n}}{2{2n}(n!)^{2}}