The Bessel equation of order zero is
x^2 y^prime prime+x y^prime+x^2 y=0
c. Show that one solution for x>0 is
J0(x)=1+sumn=1^infty (-1)^n x^2 n2^2 n(n!)^2
The function J0 is known as the Bessel function of the first kind of order zero.

Passo 1

Estamos com a equação de Bessel de ordem zero x^2y''+xy'+x^2y=0 e queremos mostrar que uma solução para x>0 é
J0(x)=1+sumn=1^infty(-1)^nx^2n2^2n(n!)^2
Para isso, vamos usar série de potências (método de Frobenius) e obter a recorrência dos coeficientes.

Passo 2

Assumimos uma solução em série de potências do tipo y=sumn=0^inftyanx^n+r. Calculamos as derivadas:
y'=sumn=0^infty(n+r)anx^n+r-1,
y''=sumn=0^infty(n+r)(n+r-1)anx^n+r-2

Passo 3

Substituímos y,y',y'' na equação de Bessel e fatoramos x^r. Alinhando as potências de x, o termo de menor grau dá a equação indicial:
r^2=0
Logo r=0 (raiz dupla).

Passo 4

Com r=0, agrupamos o coeficiente de x^n para n>=2 e obtemos:
n^2an+an-2=0
que leva à recorrência
an=-an-2n^2, n>=2

Passo 5

Escolhemos as constantes iniciais para obter a solução de primeira espécie (função de Bessel de primeira espécie): a0=1 (normalização) e a1=0 (para termos apenas potências pares). A recorrência espalha esses valores para todos os an.

Passo 6

Para n=2m temos via recorrência
a2m=(-1)^ma0(2m)^2(2m-2)^2cdots2^2=(-1)^m12^2m(m!)^2
Assim, a solução fica
y=summ=0^inftya2mx^2m=1+summ=1^infty(-1)^mx^2m2^2m(m!)^2

Passo 7

Reconhecemos essa série como a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero, ou seja, y=J0(x).

Resposta

J_{0}(x)=1+\sum_{n=1}{\infty}\frac{(-1){n}x{2n}}{2{2n}(n!)^{2}}

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