The Legendre equation of order alpha is
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+alpha(alpha+1) y=0
The solution of this equation near the ordinary point x=0 was discussed in Problems 17 and 18 of Section 5.3. In Example 4 of Section 5.4, it was shown that x= pm 1 are regular singular points.
b. Find a series solution in powers of x-1 for x-1>0.
Hint: Write 1+x=2+(x-1) and x=1+(x-1). Alternatively, make the change of variable x-1=t and determine a series solution in powers of t.

Passo 1

Vamos encontrar a solução em série em torno de x=1 usando t=x-1. O conteúdo é a equação de Legendre (1-x^2)y''-2xy'+alpha(alpha+1)y=0 e vamos precisar fazer a mudança de variável t=x-1 para desenvolver em potências de t.

Passo 2

Substituímos x=t+1, então y'(x)=dy/dt e y''(x)=d^2y/dt^2. Note que
1 - x^2 = 1 - (t+1)^2 = -2t - t^2,
e a equação vira
( -2t - t^2 )y'' - 2(t+1)y' + alpha(alpha+1)y = 0

Passo 3

Multiplicando por -1 para simplificar, obtemos
t(2+t)y'' + 2(t+1)y' - alpha(alpha+1)y = 0

Passo 4

Como t=0 é ponto singular regular, propomos a solução de Frobenius
y(t)=t^rsumn=0^infty an t^n

Passo 5

O termo de menor potência em t dá a equação indicial. Coletando t^r-1 obtemos
2a0r^2=0Longrightarrow r=0 (dupla)

Passo 6

Logo podemos tomar a série usual (sem fator singular), ou seja r=0 e
y(t)=sumn=0^infty an t^n

Passo 7

Substituindo na equação em série e igualando coeficientes de t^k obtemos a recorrência
2(k+1)^2ak+1 +l[k(k+1)-alpha(alpha+1)r]ak=0,

Passo 8

ou seja
$$a_{k+1}=-\frac{(k-\alpha)(k+\alpha+1)}{2(k+1)^2},a_k,
\quad k=0,1,2,\dots$$

Passo 9

Portanto a série solução em potências de t=x-1 é
y(x)=sumn=0^infty an,(x-1)^n, com a0 arbitrário e os demais an dados pela recorrência acima.

Resposta

A solução em série em potências de x-1 para x>1 é
y(x)=sumn=0^infty an,(x-1)^n,
onde
an+1=-(n-alpha)(n+alpha+1)2(n+1)^2,an, a0 livre

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