The Legendre equation of order
is
The solution of this equation near the ordinary point
was discussed in Problems 17 and 18 of Section 5.3. In Example 4 of Section 5.4, it was shown that
are regular singular points.
b. Find a series solution in powers of
for
.
Hint: Write
and
. Alternatively, make the change of variable
and determine a series solution in powers of
.
b. Find a series solution in powers of
Hint: Write
Passo 1
Vamos encontrar a solução em série em torno de x=1 usando t=x-1. O conteúdo é a equação de Legendre
e vamos precisar fazer a mudança de variável
para desenvolver em potências de
.
Passo 2
Substituímos
, então
e
. Note que
e a equação vira
Passo 3
Multiplicando por
para simplificar, obtemos
Passo 4
Como
é ponto singular regular, propomos a solução de Frobenius
Passo 5
O termo de menor potência em
dá a equação indicial. Coletando
obtemos
Passo 6
Logo podemos tomar a série usual (sem fator singular), ou seja
e
Passo 7
Substituindo na equação em série e igualando coeficientes de
obtemos a recorrência
Passo 8
ou seja
$$a_{k+1}=-\frac{(k-\alpha)(k+\alpha+1)}{2(k+1)^2},a_k,
\quad k=0,1,2,\dots$$
Passo 9
Portanto a série solução em potências de
é
Resposta
A solução em série em potências de
para
é
onde