In each of Problems 30 and 31, show that the point x=0 is a regular singular point. In each problem try to find solutions of the form sumn=0^infty an x^n. Show that (except for constant multiples) there is only one nonzero solution of this form in Problem 30 and that there are no nonzero solutions of this form in Problem 31. Thus in neither case can the general solution be found in this manner. This is typical of equations with singular points.
2 x y^prime prime+3 y^prime+x y=0

Passo 1

O enunciado pede para a equação
2x,y'' + 3y' + x,y = 0
mostrar que x=0 é um ponto singular regular e tentar encontrar soluções na forma
y(x)=sumn=0^infty anx^n
Vamos precisar da teoria de pontos singulares regulares e do método de séries de potências (método de Frobenius quando há singularidade).

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
Dividindo por 2x (válido para x≠0) temos
y'' + 32x,y' + 12,y = 0
Aqui
p(x)=32x, q(x)=tfrac12
Para x=0 verificamos que x·p(x)=3/2 e x²·q(x)=x²/2 são funções analíticas em x=0. Logo x=0 é um ponto singular regular.

Passo 3

Assumimos então uma solução em série de potências em torno de x=0:
y(x)=sumn=0^infty anx^n
As derivadas são
y'(x)=sumn=1^infty n an x^n-1,
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2

Passo 4

Substituindo na EDO original:
2xsumn=2^infty n(n-1)an x^n-2 + 3sumn=1^infty n an x^n-1 + xsumn=0^infty an x^n =0
Isso vira (ajustando potências):
sumn=0^infty n(2n+1)an x^n-1 + sumn=0^infty an x^n+1 =0

Passo 5

Para alinhar todas as potências x^m, definimos m=n−1 no primeiro somatório e m=n+1 no segundo. Chegamos ao coeficiente geral para x^m:
(m+1)(2m+3)am+1 + am-1 =0,
ou seja
am+1 = -am-1(m+1)(2m+3), m>=0

Passo 6

Vamos ver os primeiros casos:
  • Para m=0: a1 = -a-1/(1·3)=0 pois a-1=0. Então a1=0.
  • Para m=1: a2 = -a0/(2·5)= -a0/10.
  • Para m=2: a3 = -a1/(3·7)=0 e assim todos a2k+1=0.
  • Para m=3: a4 = -a2/(4·9)= a0/360, e assim por diante.

Passo 7

Como apenas a0 fica livre, todos os a2k são determinados em função de a0 e todos os a2k+1=0. Logo só existe uma única solução em série (multiplicada por constante). Não surge nenhuma outra série independente (o setor ímpar é trivial).

Passo 8

Concluímos que, embora x=0 seja um ponto singular regular e haja uma solução em série de potências, só se obtém uma única solução não-nula dessa forma. A segunda solução linearmente independente envolve logaritmos e não pode ser escrita como série de potências pura.

Resposta

A única solução em série (até constante) é
y(x)=a0l(1-tfracx^210+tfracx^4360-cdotsr)

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