In each of Problems 30 and 31, show that the point
is a regular singular point. In each problem try to find solutions of the form
. Show that (except for constant multiples) there is only one nonzero solution of this form in Problem 30 and that there are no nonzero solutions of this form in Problem 31. Thus in neither case can the general solution be found in this manner. This is typical of equations with singular points.
Passo 1
O enunciado pede para a equação
mostrar que x=0 é um ponto singular regular e tentar encontrar soluções na forma
Vamos precisar da teoria de pontos singulares regulares e do método de séries de potências (método de Frobenius quando há singularidade).
Passo 2
Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
Dividindo por 2x (válido para x≠0) temos
Aqui
Para x=0 verificamos que x·p(x)=3/2 e x²·q(x)=x²/2 são funções analíticas em x=0. Logo x=0 é um ponto singular regular.
Passo 3
Assumimos então uma solução em série de potências em torno de x=0:
As derivadas são
Passo 4
Substituindo na EDO original:
Isso vira (ajustando potências):
Passo 5
Para alinhar todas as potências x^m, definimos m=n−1 no primeiro somatório e m=n+1 no segundo. Chegamos ao coeficiente geral para x^m:
ou seja
Passo 6
Vamos ver os primeiros casos:
- Para m=0:
pois . Então . - Para m=1:
. - Para m=2:
e assim todos . - Para m=3:
, e assim por diante.
Passo 7
Como apenas
fica livre, todos os
são determinados em função de
e todos os
. Logo só existe uma única solução em série (multiplicada por constante). Não surge nenhuma outra série independente (o setor ímpar é trivial).
Passo 8
Concluímos que, embora x=0 seja um ponto singular regular e haja uma solução em série de potências, só se obtém uma única solução não-nula dessa forma. A segunda solução linearmente independente envolve logaritmos e não pode ser escrita como série de potências pura.
Resposta
A única solução em série (até constante) é