The Cartesian coordinates of a point are given.
(i) Find polar coordinates (r, theta) of the point, where r>0 and 0 <= theta<2 pi.
(ii) Find polar coordinates (r, theta) of the point, where r<0 and 0 <= theta<2 pi.
(b) (1,-2)

Passo 1

O enunciado dá o ponto em coordenadas cartesianas (1,-2) e pede as coordenadas polares (r,theta) em dois casos:
  1. com r>0 e 0<=theta<2pi, usando a fórmula
r=raizx^2+y^2, theta=arctan!l(tfracyxr)
ajustando o quadrante;
2. com r<0 e 0<=theta<2pi, lembrando que inverter o sinal de r acrescenta pi ao ângulo (ou seja, faz o vetor “apontar” no sentido oposto).

Passo 2

Para r>0:
r=raiz1^2+(-2)^2=raiz5
O ângulo de referência é
alpha=arctanl|tfrac-21r|=arctan(2)
Como x=1>0 e y=-2<0, o ponto está no quarto quadrante, logo
theta=2pi-alpha=2pi-arctan(2)

Passo 3

Para r<0 escolhemos
r=-raiz5
Então de (x,y)=(rcostheta,rsintheta) vem
costheta=xr=1-raiz5=-1raiz5, sintheta=yr=-2-raiz5=2raiz5
Isso coloca theta no segundo quadrante ( cos<0,sin>0), e o ângulo satisfaz
theta=pi-arctanl|tfracsinthetacosthetar| =pi-arctan(2)

Resposta

(i) (r,theta)=l(raiz5,,2pi-arctan(2)r)
(ii) (r,theta)=l(-raiz5,,pi-arctan(2)r)

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