Assume the ideal gas law
, and derive an expression for the total fractional error in the pressure as calculated from measurements of the volume and the temperature of
moles of gas, if one assumes the error in
is independent of error in
.
Passo 1
O enunciado pede: derivar uma expressão para o erro fracionário total em
(pressão) calculada a partir de medições de
(volume) e
(temperatura) de
mols de gás ideal, assumindo que o erro em
é independente do erro em
. Informações dadas e condições:
- Lei dos gases ideais:
. -
e são constantes (sem erro). - Existem erros nas medições de
e ; esses erros são estatisticamente independentes. - Queremos o erro fracionário (isto é, a incerteza relativa) em
em função das incertezas em e .
Passo 2
Escrevemos
em função de
e
. Isolando
da lei dos gases ideais:
Aqui
é a grandeza dependente medida a partir de
e
;
e
são constantes conhecidas.
Passo 3
Para erros pequenos usamos a aproximação linear (diferencial) para propagar incertezas. Se
, uma pequena variação
é aproximada por:
Aqui
e
representam as pequenas incertezas (flutuações) nas medições de
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais necessárias. A partir de
:
Note que também vale
, pois
.
Passo 5
Agora fazemos a propagação de incertezas assumindo independência entre
e
. Se
e
são as incertezas padrão (desvios padrão) em
e
, então a variância de
é:
Substituindo as derivadas:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
obtemos a variância do erro fracionário:
Isso surge porque os termos têm fatores
e
que cancelam com
.
Passo 7
Tomando a raiz quadrada para obter a incerteza padrão fracionária (erro fracionário total) em
:
Interpretação: o erro relativo em
é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos erros relativos em
e em
. A contribuição de
aparece porque
depende de
(o sinal negativo não aparece depois de quadrar).
Passo 8
Observações finais e condições de validade:
- Essa fórmula é válida para erros pequenos (onde a aproximação linear é aceitável) e quando as incertezas em
e são estatisticamente independentes. - Se em vez de desvios padrão tiveres erros máximos absolutos
e , a aproximação linear dá uma estimativa análoga substituindo por , embora a interpretação estatística mude.