Assume the ideal gas law P V=n R T, and derive an expression for the total fractional error in the pressure as calculated from measurements of the volume and the temperature of n moles of gas, if one assumes the error in T is independent of error in V.

Passo 1

O enunciado pede: derivar uma expressão para o erro fracionário total em P (pressão) calculada a partir de medições de V (volume) e T (temperatura) de n mols de gás ideal, assumindo que o erro em T é independente do erro em V. Informações dadas e condições:
  • Lei dos gases ideais: \,P V = n R T\,.
  • n e R são constantes (sem erro).
  • Existem erros nas medições de T e V; esses erros são estatisticamente independentes.
  • Queremos o erro fracionário (isto é, a incerteza relativa) em P em função das incertezas em T e V.

Passo 2

Escrevemos P em função de T e V. Isolando P da lei dos gases ideais:
P = \frac{n R T}{V}.
Aqui P é a grandeza dependente medida a partir de T e V; n e R são constantes conhecidas.

Passo 3

Para erros pequenos usamos a aproximação linear (diferencial) para propagar incertezas. Se P=P(T,V), uma pequena variação \mathrm{d}P é aproximada por:
\mathrm{d}P \approx \frac{\partial P}{\partial T}\,\mathrm{d}T + \frac{\partial P}{\partial V}\,\mathrm{d}V.
Aqui \mathrm{d}T e \mathrm{d}V representam as pequenas incertezas (flutuações) nas medições de T e V.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais necessárias. A partir de P = \dfrac{n R T}{V}:
\frac{\partial P}{\partial T} = \frac{n R}{V}, \qquad \frac{\partial P}{\partial V} = -\frac{n R T}{V^{2}} = -\frac{P}{V}.
Note que também vale \dfrac{\partial P}{\partial T} = \dfrac{P}{T}, pois P/T = nR/V.

Passo 5

Agora fazemos a propagação de incertezas assumindo independência entre \mathrm{d}T e \mathrm{d}V. Se \sigma_T e \sigma_V são as incertezas padrão (desvios padrão) em T e V, então a variância de \mathrm{d}P é:
\sigma_P^{2} = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)^{2}\sigma_T^{2} + \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)^{2}\sigma_V^{2}.
Substituindo as derivadas:
\sigma_P^{2} = \left(\frac{P}{T}\right)^{2}\sigma_T^{2} + \left(\frac{P}{V}\right)^{2}\sigma_V^{2}.

Passo 6

Dividindo ambos os lados por P^{2} obtemos a variância do erro fracionário:
\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \left(\frac{\sigma_T}{T}\right)^{2} + \left(\frac{\sigma_V}{V}\right)^{2}.
Isso surge porque os termos têm fatores (P/T)^{2} e (P/V)^{2} que cancelam com P^{2}.

Passo 7

Tomando a raiz quadrada para obter a incerteza padrão fracionária (erro fracionário total) em P:
\frac{\sigma_P}{P} = \sqrt{ \left(\frac{\sigma_T}{T}\right)^{2} + \left(\frac{\sigma_V}{V}\right)^{2} }.
Interpretação: o erro relativo em P é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos erros relativos em T e em V. A contribuição de V aparece porque P depende de 1/V (o sinal negativo não aparece depois de quadrar).

Passo 8

Observações finais e condições de validade:
  • Essa fórmula é válida para erros pequenos (onde a aproximação linear é aceitável) e quando as incertezas em T e V são estatisticamente independentes.
  • Se em vez de desvios padrão tiveres erros máximos absolutos \Delta T e \Delta V, a aproximação linear dá uma estimativa análoga substituindo \sigma por \Delta, embora a interpretação estatística mude.

Resposta

\frac{\sigma_P}{P} = \sqrt{ \left(\frac{\sigma_T}{T}\right)^{2} + \left(\frac{\sigma_V}{V}\right)^{2} }.

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