The Debye functions,
, are important in theories of the specific heat of metals:
(a) Establish that on the interval
we have
and, hence,
. The tabulated value of the function
at
is 0.353939 (Abramowitz and Stegun, 1965).
Passo 1
O enunciado dá a função de Debye
e pede duas coisas: (i) mostrar, para
, a desigualdade pontual
e (ii) usar essa desigualdade para obter as cotas numéricas
Vou provar as duas desigualdades ponto a ponto e depois integrar para obter as cotas.
Passo 2
Provar a desigualdade à direita
Essa desigualdade é equivalente (dividindo por
) a
ou, invertendo os denominadores positivos,
Defina a função
Queremos mostrar
. Calcule a derivada de
:
Para
o numerador
é não negativo (verificar em
o limite é
e em
vale
; entre
e
permanece não negativo), logo
. Portanto
é crescente em
e, para
,
Isto mostra
, que implica
e por fim
como queríamos.
Passo 3
Provar a desigualdade à esquerda
Reescrevendo (dividindo por
) é equivalente a
Agora use a expansão em série de
(só precisa saber que todos os termos da série além de
são não negativos para
):
Dividindo por
obtém-se
que é exatamente o que precisamos. Portanto
para todo
.
Passo 4
Integrar as desigualdades ponto a ponto em
de
a
. Como todas as funções envolvidas são não negativas em
, a desigualdade se preserva após integração:
Ou seja,
Passo 5
Calcular explicitamente as integrais de quebra.
- Integral inferior:
Numericamente, como
, tem-se
e
- Integral superior:
Primeiro simplificar o integrando:
Faça a divisão algébrica:
Logo
Numericamente,
, então
Passo 6
Reunindo os resultados das integrais temos as cotas:
A título de verificação, o valor tabulado
(Abramowitz e Stegun) fica dentro dessas cotas.