The Debye functions, \{D(n, x)\}_{n-1}^{\infty}, are important in theories of the specific heat of metals:
D(n, x)=\int_{0}^{x} \frac{t^{n}}{e^{t}-1} d t, \quad|x|<2 \pi
(a) Establish that on the interval [0,1] we have
\frac{t}{1+\frac{1}{2} t} \geq \frac{t^{2}}{e^{t}-1} \geq \frac{t}{e-1},
and, hence, 0.3781>D(2,1)>0.2910. The tabulated value of the function D(2, x) at x=1 is 0.353939 (Abramowitz and Stegun, 1965).

Passo 1

O enunciado dá a função de Debye
D(2,1)=\int_{0}^{1}\frac{t^{2}}{e^{t}-1}\,dt
e pede duas coisas: (i) mostrar, para t\in[0,1], a desigualdade pontual
\frac{t}{1+\tfrac{1}{2}t}\ge \frac{t^{2}}{e^{t}-1}\ge \frac{t}{e-1},
e (ii) usar essa desigualdade para obter as cotas numéricas
0,3781>D(2,1)>0,2910.
Vou provar as duas desigualdades ponto a ponto e depois integrar para obter as cotas.

Passo 2

Provar a desigualdade à direita
\frac{t^{2}}{e^{t}-1}\ge \frac{t}{e-1}\quad\text{para }t\in[0,1].
Essa desigualdade é equivalente (dividindo por t>0) a
\frac{t}{e^{t}-1}\ge \frac{1}{e-1},
ou, invertendo os denominadores positivos,
\frac{e^{t}-1}{t}\le e-1.
Defina a função
f(t)=\frac{e^{t}-1}{t}\quad(t\in(0,1]).
Queremos mostrar f(t)\le f(1)=e-1. Calcule a derivada de f:
f'(t)=\frac{t e^{t}-(e^{t}-1)}{t^{2}}=\frac{e^{t}(t-1)+1}{t^{2}}.
Para t\in(0,1] o numerador e^{t}(t-1)+1 é não negativo (verificar em t=0 o limite é 1 e em t=1 vale 1; entre 0 e 1 permanece não negativo), logo f'(t)\ge 0. Portanto f é crescente em [0,1] e, para t\in[0,1],
f(t)\le f(1)=\frac{e^{1}-1}{1}=e-1.
Isto mostra \dfrac{e^{t}-1}{t}\le e-1, que implica \dfrac{t}{e^{t}-1}\ge\dfrac{1}{e-1} e por fim
\frac{t^{2}}{e^{t}-1}\ge \frac{t}{e-1},
como queríamos.

Passo 3

Provar a desigualdade à esquerda
\frac{t}{1+\tfrac{1}{2}t}\ge \frac{t^{2}}{e^{t}-1}\quad\text{para }t\in[0,1].
Reescrevendo (dividindo por t>0) é equivalente a
\frac{1}{1+\tfrac{1}{2}t}\ge \frac{t}{e^{t}-1} \quad\Longleftrightarrow\quad 1+\tfrac{1}{2}t\le \frac{e^{t}-1}{t}.
Agora use a expansão em série de e^{t} (só precisa saber que todos os termos da série além de 1+t+\tfrac{t^{2}}{2} são não negativos para t\ge0):
e^{t}-1 = t+\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{6}+\cdots \ge t+\frac{t^{2}}{2}.
Dividindo por t>0 obtém-se
\frac{e^{t}-1}{t}\ge 1+\frac{t}{2},
que é exatamente o que precisamos. Portanto
\frac{t}{1+\tfrac{1}{2}t}\ge \frac{t^{2}}{e^{t}-1}
para todo t\in[0,1].

Passo 4

Integrar as desigualdades ponto a ponto em t de 0 a 1. Como todas as funções envolvidas são não negativas em [0,1], a desigualdade se preserva após integração:
\int_{0}^{1}\frac{t}{1+\tfrac{1}{2}t}\,dt \ge \int_{0}^{1}\frac{t^{2}}{e^{t}-1}\,dt \ge \int_{0}^{1}\frac{t}{e-1}\,dt.
Ou seja,
\int_{0}^{1}\frac{t}{1+\tfrac{1}{2}t}\,dt \ge D(2,1) \ge \frac{1}{e-1}\int_{0}^{1}t\,dt.

Passo 5

Calcular explicitamente as integrais de quebra.
  1. Integral inferior:
\frac{1}{e-1}\int_{0}^{1}t\,dt=\frac{1}{e-1}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2(e-1)}.
Numericamente, como e\approx 2,71828, tem-se e-1\approx 1,71828 e
\frac{1}{2(e-1)}\approx \frac{1}{2\cdot 1,71828}\approx 0,2910.
  1. Integral superior:
    Primeiro simplificar o integrando:
\frac{t}{1+\tfrac{1}{2}t}=\frac{2t}{t+2}.
Faça a divisão algébrica:
\frac{2t}{t+2}=2-\frac{4}{t+2}.
Logo
\int_{0}^{1}\frac{t}{1+\tfrac{1}{2}t}\,dt =\int_{0}^{1}\Bigl(2-\frac{4}{t+2}\Bigr)\,dt =\bigl[2t-4\ln(t+2)\bigr]_{0}^{1} =2-4\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).
Numericamente, \ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)\approx 0,405465, então
2-4\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)\approx 2-4\cdot 0,405465\approx 0,37814\approx 0,3781.

Passo 6

Reunindo os resultados das integrais temos as cotas:
0,3781\approx 2-4\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) \;\ge\; D(2,1)\;\ge\; \frac{1}{2(e-1)}\approx 0,2910.
A título de verificação, o valor tabulado D(2,1)=0,353939 (Abramowitz e Stegun) fica dentro dessas cotas.

Resposta

0,3781>D(2,1)>0,2910

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