The electric flux density inside a cube is given by: Find the total electric charge enclosed inside the cubical volume when the cube is in the first octant with three edges coincident with the x, y, z axes and one corner at the origin. Each side of the cube is 1 m long.
Passo 1
O enunciado pede o total da carga elétrica contida dentro de um cubo. Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- O campo de densidade elétrica é
. - O cubo está no primeiro octante com arestas coincidentes com os eixos
, , e um vértice na origem. - Cada aresta do cubo tem comprimento
. Assim as coordenadas no volume são , , . - Pergunta: encontrar a carga total encerrada dentro desse volume cúbico.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): a relação local entre
e a densidade volumétrica de carga
é dada pela forma diferencial da lei de Gauss:
Aqui:
-
é a divergência de , que mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume. -
é a densidade volumétrica de carga (unidade: ).
Em coordenadas cartesianas, para um campo, a divergência é
Explicando termos:
significa derivar a componente
de
em relação a
; o mesmo para as outras componentes.
Passo 3
Calculemos a divergência para o campo dado. A componente
é
. As componentes
e
são zero:
,
. Portanto,
Somando,
Interpretação: a densidade volumétrica de carga é constante e igual a
em todo o volume (isto vem do fato de a derivada de
ser
). Repare nas unidades:
tem unidade
; ao aplicar divergência (derivar espacialmente) obtemos
.
Passo 4
Agora integremos a densidade volumétrica sobre o volume do cubo para obter a carga total
:
Como
e o volume é o cubo com
, escrevemos o integral triplo:
Avaliação passo a passo: primeiro integraremos em
,
Agora em
,
Finalmente em
,
Multiplicando os resultados (ou observando que o integral de 1 sobre um volume é simplesmente o volume),
Unidade:
está em coulombs, então
.
Passo 5
Verificação alternativa (cheque mental rápido): como
tem apenas componente
, só as duas faces normais ao eixo
contribuem para o fluxo total. Fluxo pela face em
(saindo) é
. Fluxo pela face em
(saindo, com normal negativa) é
. Soma dos fluxos
, que coincide com a carga calculada (boas notícias: está consistente com a forma integral da lei de Gauss). Dica para prova: calcular divergência e integrar é geralmente mais direto quando
fica simples; conferir com fluxo pelas faces é um bom check.