The electric flux density inside a cube is given by: Find the total electric charge enclosed inside the cubical volume when the cube is in the first octant with three edges coincident with the x, y, z axes and one corner at the origin. Each side of the cube is 1 m long.
\mathbf{D}=\hat{\mathbf{a}}_{x}(3+x)

Passo 1

O enunciado pede o total da carga elétrica contida dentro de um cubo. Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • O campo de densidade elétrica é \mathbf{D}=\hat{\mathbf{a}}_{x}(3+x).
  • O cubo está no primeiro octante com arestas coincidentes com os eixos x, y, z e um vértice na origem.
  • Cada aresta do cubo tem comprimento 1\\ \text{m}. Assim as coordenadas no volume são 0\le x\le1, 0\le y\le1, 0\le z\le1.
  • Pergunta: encontrar a carga total encerrada dentro desse volume cúbico.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): a relação local entre \mathbf{D} e a densidade volumétrica de carga \rho_v é dada pela forma diferencial da lei de Gauss:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_v.
Aqui:
  • \nabla\cdot\mathbf{D} é a divergência de \mathbf{D}, que mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume.
  • \rho_v é a densidade volumétrica de carga (unidade: \text{C}\!/ \text{m}^3).
    Em coordenadas cartesianas, para um campo \mathbf{D}= \hat{\mathbf{a}}_{x}D_x+\hat{\mathbf{a}}_{y}D_y+\hat{\mathbf{a}}_{z}D_z, a divergência é
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}.
Explicando termos: \partial D_x/\partial x significa derivar a componente x de \mathbf{D} em relação a x; o mesmo para as outras componentes.

Passo 3

Calculemos a divergência para o campo dado. A componente x é D_x=3+x. As componentes y e z são zero: D_y=0, D_z=0. Portanto,
\frac{\partial D_x}{\partial x}=\frac{d}{dx}(3+x)=1,
\frac{\partial D_y}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial D_z}{\partial z}=0.
Somando,
\rho_v=\nabla\cdot\mathbf{D}=1.
Interpretação: a densidade volumétrica de carga é constante e igual a 1\\ \text{C}\!/ \text{m}^3 em todo o volume (isto vem do fato de a derivada de 3+x ser 1). Repare nas unidades: \mathbf{D} tem unidade \text{C}\!/ \text{m}^2; ao aplicar divergência (derivar espacialmente) obtemos \text{C}\!/ \text{m}^3.

Passo 4

Agora integremos a densidade volumétrica sobre o volume do cubo para obter a carga total Q:
Q=\int_{V}\rho_v\,dV.
Como \rho_v=1 e o volume é o cubo com 0\le x,y,z\le1, escrevemos o integral triplo:
Q=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 1\;dx\,dy\,dz.
Avaliação passo a passo: primeiro integraremos em x,
\int_{0}^{1} 1\;dx = [x]_{0}^{1}=1.
Agora em y,
\int_{0}^{1} 1\;dy = 1.
Finalmente em z,
\int_{0}^{1} 1\;dz = 1.
Multiplicando os resultados (ou observando que o integral de 1 sobre um volume é simplesmente o volume),
Q = 1\cdot 1\cdot 1 = 1.
Unidade: Q está em coulombs, então Q=1\\ \text{C}.

Passo 5

Verificação alternativa (cheque mental rápido): como \mathbf{D} tem apenas componente x, só as duas faces normais ao eixo x contribuem para o fluxo total. Fluxo pela face em x=1 (saindo) é (3+1)\times 1\times 1=4. Fluxo pela face em x=0 (saindo, com normal negativa) é - (3+0)\times 1\times 1=-3. Soma dos fluxos 4+(-3)=1, que coincide com a carga calculada (boas notícias: está consistente com a forma integral da lei de Gauss). Dica para prova: calcular divergência e integrar é geralmente mais direto quando \rho_v fica simples; conferir com fluxo pelas faces é um bom check.

Resposta

1\\ \text{C}

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