The electric flux density inside a cube is given by: Find the total electric charge enclosed inside the cubical volume when the cube is in the first octant with three edges coincident with the x, y, z axes and one corner at the origin. Each side of the cube is 1 m long.
Passo 1
O que o problema pede: encontrar a carga elétrica total contida no cubo de aresta
, situado no primeiro octante com um vértice na origem e arestas coincidentes com os eixos
.\n
Informações dadas: a densidade de fluxo elétrico é
Informações dadas: a densidade de fluxo elétrico é
O cubo tem
,
,
.
Pergunta explícita: qual é a carga total contida nesse volume?
Pergunta explícita: qual é a carga total
Passo 2
Relação entre
e a densidade volumétrica de carga: a densidade de carga volumétrica
no ponto é dada pelo divergente de
, isto é
Explicando isso de forma bem prática: o operador divergente
calcula a soma das derivadas parciais das componentes de
em relação às suas coordenadas. Se
, então
Cada termo é uma derivada parcial:
significa “derivar a componente
de
em relação à variável
”, mantendo
e
fixos.
Passo 3
Aplicando a definição ao campo dado: aqui
tem apenas componente em
, ou seja
,
,
. Portanto
As derivadas das componentes nulas são zero, sobra
Comentário didático: a constante
desaparece ao derivar e a derivada de
é
. Assim
é uma função que depende só de
.
Passo 4
Agora para obter a carga total encerrada, integramos
sobre o volume do cubo:
Explicando a escolha dos limites: como o cubo está no primeiro octante com aresta
, as coordenadas variam de
a
em
. A medida de volume é
.
Passo 5
Calcule a integral passo a passo. Primeiro observe que o integrando
depende apenas de
, então as integrais em
e
simplesmente multiplicam por
:
As duas primeiras integrais valem
. Agora a integral em
:
Multiplicando tudo, obtemos
.
Passo 6
Interpretação e verificação rápida: a unidade está correta —
tem unidades de
, o divergente tem unidades de
, e a integração sobre um volume em
dá carga em
. Portanto o resultado numérico
corresponde a
.