The electric flux density inside a cube is given by: Find the total electric charge enclosed inside the cubical volume when the cube is in the first octant with three edges coincident with the x, y, z axes and one corner at the origin. Each side of the cube is 1 m long.
\mathbf{D}=\hat{\mathbf{a}}_{y}\left(4+y^{2}\right)

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a carga elétrica total contida no cubo de aresta 1\\ \mathrm{m}, situado no primeiro octante com um vértice na origem e arestas coincidentes com os eixos \,x,y,z.\n
Informações dadas: a densidade de fluxo elétrico é
\mathbf{D}=\hat{\mathbf{a}}_{y}\left(4+y^{2}\right).
O cubo tem 0\le x\le 1, 0\le y\le 1, 0\le z\le 1.
Pergunta explícita: qual é a carga total Q_{\text{enc}} contida nesse volume?

Passo 2

Relação entre \mathbf{D} e a densidade volumétrica de carga: a densidade de carga volumétrica \rho_v no ponto é dada pelo divergente de \mathbf{D}, isto é
\nabla\!\cdot\!\mathbf{D}=\rho_v.
Explicando isso de forma bem prática: o operador divergente \nabla\!\cdot calcula a soma das derivadas parciais das componentes de \mathbf{D} em relação às suas coordenadas. Se \mathbf{D}=(D_x,D_y,D_z), então
\nabla\!\cdot\!\mathbf{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}.
Cada termo é uma derivada parcial: \frac{\partial D_y}{\partial y} significa “derivar a componente y de \mathbf{D} em relação à variável y”, mantendo x e z fixos.

Passo 3

Aplicando a definição ao campo dado: aqui \mathbf{D} tem apenas componente em y, ou seja D_x=0, D_y=4+y^{2}, D_z=0. Portanto
\rho_v=\nabla\!\cdot\!\mathbf{D}=\frac{\partial}{\partial x}(0)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4+y^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial z}(0).
As derivadas das componentes nulas são zero, sobra
\rho_v=\frac{d}{dy}\bigl(4+y^{2}\bigr)=2y.
Comentário didático: a constante 4 desaparece ao derivar e a derivada de y^{2} é 2y. Assim \rho_v é uma função que depende só de y.

Passo 4

Agora para obter a carga total encerrada, integramos \rho_v sobre o volume do cubo:
Q_{\text{enc}}=\iiint_{V}\rho_v\,dV=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2y\,dx\,dy\,dz.
Explicando a escolha dos limites: como o cubo está no primeiro octante com aresta 1, as coordenadas variam de 0 a 1 em x,y,z. A medida de volume é dV=dx\,dy\,dz.

Passo 5

Calcule a integral passo a passo. Primeiro observe que o integrando 2y depende apenas de y, então as integrais em x e z simplesmente multiplicam por 1:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2y\,dx\,dy\,dz =\left(\int_{0}^{1}dx\right)\left(\int_{0}^{1}dz\right)\left(\int_{0}^{1}2y\,dy\right).
As duas primeiras integrais valem 1. Agora a integral em y:
\int_{0}^{1}2y\,dy=\left[y^{2}\right]_{0}^{1}=1^{2}-0^{2}=1.
Multiplicando tudo, obtemos Q_{\text{enc}}=1.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: a unidade está correta — \mathbf{D} tem unidades de \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}, o divergente tem unidades de \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}, e a integração sobre um volume em \mathrm{m}^{3} dá carga em \mathrm{C}. Portanto o resultado numérico 1 corresponde a 1\\ \mathrm{C}.

Resposta

\;1\\ \mathrm{C}

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