A time-varying voltage source of
is connected across a parallel plate capacitor with polystyrene
between the plates. Assuming a small plate separation of 2 cm and no field fringing, determine at:
the maximum values of the conduction and displacement current densities within the polystyrene and compare them.
Passo 1
O enunciado pede: determinar, em
, os valores máximos das densidades de corrente de condução e de deslocamento dentro do poliestireno entre as placas e compará‑las.
Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
separação entre placas
(sem fringe) e frequência
.
Não se pede área das placas nem corrente total — apenas as densidades de corrente (valores por unidade de área) dentro do dielétrico.
Não se pede área das placas nem corrente total — apenas as densidades de corrente (valores por unidade de área) dentro do dielétrico.
Passo 2
Vamos achar o campo elétrico entre as placas. Com queda de potencial uniforme e sem fringe:
Substituindo
:
O valor máximo (amplitude) do campo é
Com
,
Passo 3
Densidade de corrente de condução: a lei de Ohm local diz que a densidade de corrente devido à condução é proporcional ao campo:
Aqui
é a condutividade (unidade
). O máximo em módulo é
Substituindo números:
Calculando:
Passo 4
Densidade de corrente de deslocamento: a definição (no espaço com permitividade
) é
Explicando:
é a permissividade do material (
);
é a variação temporal do campo. Com
obtemos
A amplitude (valor máximo em módulo) de
é
, então
Uma forma equivalente que uso com frequência é
(é a mesma expressão porque
).
Passo 5
Calcular
e
. Sabemos
logo
A pulsação é
Passo 6
Agora calculamos
. Primeiro
:
Multiplicando por
:
Fazendo a multiplicação:
Passo 7
Comparação numérica: temos
A razão vale
Ou seja, em
a corrente de condução é aproximadamente
vezes maior que a corrente de deslocamento no poliestireno; a corrente de deslocamento é cerca de
da corrente de condução.