A time-varying voltage source of v(t)=10 \cos (\omega t) is connected across a parallel plate capacitor with polystyrene \left(\varepsilon=2.56 \varepsilon_{0}, \sigma=3.7 \times 10^{-4} \mathrm{~S} / \mathrm{m}\right) between the plates. Assuming a small plate separation of 2 cm and no field fringing, determine at:
f=1 \mathrm{MHz} the maximum values of the conduction and displacement current densities within the polystyrene and compare them.

Passo 1

O enunciado pede: determinar, em f=1\\ \mathrm{MHz}, os valores máximos das densidades de corrente de condução e de deslocamento dentro do poliestireno entre as placas e compará‑las.
Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
v(t)=10\cos(\omega t)
\varepsilon=2{,}56\,\varepsilon_0
\sigma=3{,}7\times10^{-4}\\ \mathrm{S/m}
separação entre placas d=2\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m} (sem fringe) e frequência f=1\\ \mathrm{MHz}.
Não se pede área das placas nem corrente total — apenas as densidades de corrente (valores por unidade de área) dentro do dielétrico.

Passo 2

Vamos achar o campo elétrico entre as placas. Com queda de potencial uniforme e sem fringe:
E(t)=\frac{v(t)}{d}.
Substituindo v(t):
E(t)=\frac{10\cos(\omega t)}{d}.
O valor máximo (amplitude) do campo é
E_{\text{max}}=\frac{10}{d}.
Com d=0{,}02\\ \mathrm{m},
E_{\text{max}}=\frac{10}{0{,}02}=500\\ \mathrm{V/m}.

Passo 3

Densidade de corrente de condução: a lei de Ohm local diz que a densidade de corrente devido à condução é proporcional ao campo:
J_{\text{cond}}(t)=\sigma E(t).
Aqui \sigma é a condutividade (unidade \mathrm{S/m}=\mathrm{A/(V\cdot m)}). O máximo em módulo é
J_{\text{cond,max}}=\sigma E_{\text{max}}.
Substituindo números:
J_{\text{cond,max}}=3{,}7\times10^{-4}\times500.
Calculando:
J_{\text{cond,max}}=0{,}185\\ \mathrm{A/m^{2}}.

Passo 4

Densidade de corrente de deslocamento: a definição (no espaço com permitividade \varepsilon) é
J_{\text{disp}}(t)=\varepsilon\frac{\partial E(t)}{\partial t}.
Explicando: \varepsilon é a permissividade do material ( \mathrm{F/m}); \partial E/\partial t é a variação temporal do campo. Com E(t)=\dfrac{10}{d}\cos(\omega t) obtemos
\frac{\partial E}{\partial t}=-\frac{10\omega}{d}\sin(\omega t).
A amplitude (valor máximo em módulo) de \partial E/\partial t é \dfrac{10\omega}{d}, então
J_{\text{disp,max}}=\varepsilon\frac{10\omega}{d}.
Uma forma equivalente que uso com frequência é
J_{\text{disp,max}}=\varepsilon\omega E_{\text{max}}.
(é a mesma expressão porque E_{\text{max}}=10/d).

Passo 5

Calcular \varepsilon e \omega. Sabemos
\varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
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\varepsilon=2{,}56\varepsilon_0=2{,}56\times8{,}854\times10^{-12}=2{,}26646\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
A pulsação é
\omega=2\pi f=2\pi\times1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}\approx6{,}28318\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Agora calculamos J_{\text{disp,max}}=\varepsilon\omega E_{\text{max}}. Primeiro \varepsilon E_{\text{max}}:
\varepsilon E_{\text{max}}=2{,}26646\times10^{-11}\times500=1{,}13323\times10^{-8}\\ \mathrm{(A\cdot s)/(m^{3})} \\ (\text{unidade equivalente a F·V/m = A·s/m^3}).
Multiplicando por \omega:
J_{\text{disp,max}}=\omega(\varepsilon E_{\text{max}})\approx6{,}28318\times10^{6}\times1{,}13323\times10^{-8}.
Fazendo a multiplicação:
J_{\text{disp,max}}\approx0{,}0712\\ \mathrm{A/m^{2}}.

Passo 7

Comparação numérica: temos
J_{\text{cond,max}}=0{,}185\\ \mathrm{A/m^{2}}, \qquad J_{\text{disp,max}}\approx0{,}0712\\ \mathrm{A/m^{2}}.
A razão vale
\frac{J_{\text{cond,max}}}{J_{\text{disp,max}}}\approx\frac{0{,}185}{0{,}0712}\approx2{,}6.
Ou seja, em f=1\\ \mathrm{MHz} a corrente de condução é aproximadamente 2{,}6 vezes maior que a corrente de deslocamento no poliestireno; a corrente de deslocamento é cerca de 38{,}5\% da corrente de condução.

Resposta

J_{\text{cond,max}}=0{,}185\\ \mathrm{A/m^{2}}
J_{\text{disp,max}}\approx0{,}0712\\ \mathrm{A/m^{2}}
J_{\text{cond,max}}\approx2{,}6\;J_{\text{disp,max}}

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