The instantaneous magnetic flux density in free space is given by
where
and
are constants. Assuming there are no sources at the observation points
, determine the electric displacement current density.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo magnético instantâneo em espaço livre (free space):
onde
e
são constantes. Diz-se que não há fontes nos pontos de observação
(ou seja, sem correntes livres locais). A tarefa é determinar a densidade de corrente de deslocamento elétrica (displacement current density).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a relação de Maxwell-Ampère que conecta
, correntes livres
e a variação temporal do deslocamento elétrico
. Em notação diferencial:
Em espaço livre temos
e
. Como não há correntes livres (
) a equação reduz a
Então a densidade de corrente de deslocamento é exatamente
Logo, para encontrar
basta calcular o rotor (curl) de
e dividir por
. Vou calcular
componente a componente.
Passo 3
Escrevemos as componentes de
em coordenadas cartesianas:
onde aqui
são as componentes do vetor
. Observação: na expressão dada temos
.
Passo 4
Calculo do componente
. Como
,
Agora compute
. Temos
onde o primeiro
é a constante do enunciado (vale chamar de
, mas mantenho a notação dada). A derivada em relação a
trata
como constante e aplica regra da cadeia à
:
Portanto
Logo
Passo 5
Calculo do componente
. Temos
Escrevendo
(onde o
é a constante do enunciado) e derivando em
:
Portanto
Logo
Passo 6
Calculo do componente
. Temos
Calcule cada derivada separadamente.
Derivada de
em relação a
:
Derivada de
em relação a
:
Substituindo,
Passo 7
Agora juntamos as três componentes e dividimos por
para obter a densidade de corrente de deslocamento:
Substituindo os componentes calculados,