The instantaneous magnetic flux density in free space is given by
\begin{aligned} \mathscr{B}= & \hat{\mathbf{a}}_{x} B_{x} \cos (2 y) \sin (\omega t-\pi z) \\\ & +\hat{\mathbf{a}}_{y} B_{y} \cos (2 x) \cos (\omega t-\pi z) \end{aligned}
where B_{x} and B_{y} are constants. Assuming there are no sources at the observation points x, y, determine the electric displacement current density.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo magnético instantâneo em espaço livre (free space):
\begin{aligned} \mathscr{B} =& \hat{\mathbf{a}}_{x}\,B_{x}\cos(2y)\sin\big(\omega t-\pi z\big)\\\ &+\hat{\mathbf{a}}_{y}\,B_{y}\cos(2x)\cos\big(\omega t-\pi z\big), \end{aligned}
onde B_{x} e B_{y} são constantes. Diz-se que não há fontes nos pontos de observação x,y (ou seja, sem correntes livres locais). A tarefa é determinar a densidade de corrente de deslocamento elétrica (displacement current density).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a relação de Maxwell-Ampère que conecta \mathbf{B}, correntes livres \mathbf{J} e a variação temporal do deslocamento elétrico \partial\mathbf{D}/\partial t. Em notação diferencial:
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{J}+\mu_{0}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.
Em espaço livre temos \mathbf{D}=\epsilon_{0}\mathbf{E} e \mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{H}. Como não há correntes livres ( \mathbf{J}=0) a equação reduz a
\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}=\frac{1}{\mu_{0}}\nabla\times\mathbf{B}.
Então a densidade de corrente de deslocamento é exatamente
\mathbf{J}_{D}\equiv\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}=\frac{1}{\mu_{0}}\nabla\times\mathbf{B}.
Logo, para encontrar \mathbf{J}_{D} basta calcular o rotor (curl) de \mathscr{B} e dividir por \mu_{0}. Vou calcular \nabla\times\mathscr{B} componente a componente.

Passo 3

Escrevemos as componentes de \nabla\times\mathscr{B} em coordenadas cartesianas:
\begin{aligned} (\nabla\times\mathscr{B})_{x}&=\frac{\partial B_{z}}{\partial y}-\frac{\partial B_{y}}{\partial z},\\\ (\nabla\times\mathscr{B})_{y}&=\frac{\partial B_{x}}{\partial z}-\frac{\partial B_{z}}{\partial x},\\\ (\nabla\times\mathscr{B})_{z}&=\frac{\partial B_{y}}{\partial x}-\frac{\partial B_{x}}{\partial y}, \end{aligned}
onde aqui B_{x},B_{y},B_{z} são as componentes do vetor \mathscr{B}. Observação: na expressão dada temos B_{z}=0.

Passo 4

Calculo do componente x. Como B_{z}=0,
(\nabla\times\mathscr{B})_{x}=-\frac{\partial B_{y}}{\partial z}.
Agora compute \dfrac{\partial B_{y}}{\partial z}. Temos
B_{y}=B_{y}\cos(2x)\cos\big(\omega t-\pi z\big),
onde o primeiro B_{y} é a constante do enunciado (vale chamar de B_{y0}, mas mantenho a notação dada). A derivada em relação a z trata \cos(2x) como constante e aplica regra da cadeia à \cos(\omega t-\pi z):
\frac{\partial}{\partial z}\cos\big(\omega t-\pi z\big)= -\sin\big(\omega t-\pi z\big)\cdot(-\pi)=\pi\sin\big(\omega t-\pi z\big).
Portanto
\frac{\partial B_{y}}{\partial z}=B_{y}\cos(2x)\,\pi\sin\big(\omega t-\pi z\big).
Logo
(\nabla\times\mathscr{B})_{x}=-\pi B_{y}\cos(2x)\sin\big(\omega t-\pi z\big).

Passo 5

Calculo do componente y. Temos
(\nabla\times\mathscr{B})_{y}=\frac{\partial B_{x}}{\partial z}.
Escrevendo B_{x}=B_{x}\cos(2y)\sin(\omega t-\pi z) (onde o B_{x} é a constante do enunciado) e derivando em z:
\frac{\partial}{\partial z}\sin\big(\omega t-\pi z\big)=\cos\big(\omega t-\pi z\big)\cdot(-\pi)=-\pi\cos\big(\omega t-\pi z\big).
Portanto
\frac{\partial B_{x}}{\partial z}=B_{x}\cos(2y)\,(-\pi)\cos\big(\omega t-\pi z\big)=-\pi B_{x}\cos(2y)\cos\big(\omega t-\pi z\big).
Logo
(\nabla\times\mathscr{B})_{y}=-\pi B_{x}\cos(2y)\cos\big(\omega t-\pi z\big).

Passo 6

Calculo do componente z. Temos
(\nabla\times\mathscr{B})_{z}=\frac{\partial B_{y}}{\partial x}-\frac{\partial B_{x}}{\partial y}.
Calcule cada derivada separadamente.
Derivada de B_{y}=B_{y}\cos(2x)\cos(\omega t-\pi z) em relação a x:
\frac{\partial B_{y}}{\partial x}=B_{y}\big(-2\sin(2x)\big)\cos\big(\omega t-\pi z\big)=-2B_{y}\sin(2x)\cos\big(\omega t-\pi z\big).
Derivada de B_{x}=B_{x}\cos(2y)\sin(\omega t-\pi z) em relação a y:
\frac{\partial B_{x}}{\partial y}=B_{x}\big(-2\sin(2y)\big)\sin\big(\omega t-\pi z\big)=-2B_{x}\sin(2y)\sin\big(\omega t-\pi z\big).
Substituindo,
\begin{aligned} (\nabla\times\mathscr{B})_{z}&=-2B_{y}\sin(2x)\cos\big(\omega t-\pi z\big)-\big(-2B_{x}\sin(2y)\sin\big(\omega t-\pi z\big)\big)\\\ &=2B_{x}\sin(2y)\sin\big(\omega t-\pi z\big)-2B_{y}\sin(2x)\cos\big(\omega t-\pi z\big). \end{aligned}

Passo 7

Agora juntamos as três componentes e dividimos por \mu_{0} para obter a densidade de corrente de deslocamento:
\mathbf{J}_{D}=\frac{1}{\mu_{0}}\nabla\times\mathscr{B}.
Substituindo os componentes calculados,
\begin{aligned} \mathbf{J}_{D}=\frac{1}{\mu_{0}}\Big(&\hat{\mathbf{a}}_{x}\big[-\pi B_{y}\cos(2x)\sin(\omega t-\pi z)\big]\\\ &+\hat{\mathbf{a}}_{y}\big[-\pi B_{x}\cos(2y)\cos(\omega t-\pi z)\big]\\\ &+\hat{\mathbf{a}}_{z}\big[2B_{x}\sin(2y)\sin(\omega t-\pi z)-2B_{y}\sin(2x)\cos(\omega t-\pi z)\big]\Big). \end{aligned}

Resposta

\mathbf{J}_{D}=\frac{1}{\mu_{0}}\Big\{\hat{\mathbf{a}}_{x}\big[-\pi B_{y}\cos(2x)\sin(\omega t-\pi z)\big]+\hat{\mathbf{a}}_{y}\big[-\pi B_{x}\cos(2y)\cos(\omega t-\pi z)\big]
\qquad\qquad+\hat{\mathbf{a}}_{z}\big[2B_{x}\sin(2y)\sin(\omega t-\pi z)-2B_{y}\sin(2x)\cos(\omega t-\pi z)\big]\Big\}.

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