The displacement current density within a source-free ( \mathscr{I}_{i}=0 ) cube centered about the origin is given by
\mathscr{E}_{d}=\hat{\mathbf{a}}_{x} y z+\hat{\mathbf{a}}_{y} y^{2}+\hat{\mathbf{a}}_{z} x y z
Each side of the cube is 1 m long and the medium within it is free space. Find the displacement current leaving, in the outward direction, through the surface of the cube.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de corrente de deslocamento dentro de um cubo (sem correntes de condução) centrado na origem:
\mathscr{E}_{d}=\hat{\mathbf{a}}_{x}\,y z+\hat{\mathbf{a}}_{y}\,y^{2}+\hat{\mathbf{a}}_{z}\,x y z
O cubo tem aresta 1\\ \text{m} e está centrado na origem, logo as coordenadas variam em
x,\;y,\;z\in\left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right].
A pergunta é: encontrar a corrente de deslocamento que sai do cubo através da superfície, no sentido para fora (isto é, o fluxo de \mathscr{E}_{d} através da superfície).

Passo 2

Escolha do método e breve explicação conceitual. Vou usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), porque ele transforma o cálculo do fluxo total através da superfície fechada numa integral de volume do divergente da densidade — geralmente é o jeito mais simples para campos dados no interior de volumes regulares como um cubo. Explico o teorema e o operador divergente para você entender bem:
O Teorema da Divergência afirma que, para um campo vetorial suave \mathbf{F},
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde \partial V é a superfície fechada de V, a integral de superfície é o fluxo saindo para fora, e \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}.
A divergência de um campo vetorial \mathbf{F}=F_x\hat{\mathbf{a}}_{x}+F_y\hat{\mathbf{a}}_{y}+F_z\hat{\mathbf{a}}_{z} é dada por
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Fisicamente, \nabla\cdot\mathbf{F} mede a taxa de “saída” por unidade de volume no ponto — se for positiva há mais saída que entrada localmente, se for negativa mais entrada.

Passo 3

Aplicando o conceito ao nosso campo \mathscr{E}_{d}. Vamos calcular o divergente de
\mathscr{E}_{d}=\hat{\mathbf{a}}_{x}\,y z+\hat{\mathbf{a}}_{y}\,y^{2}+\hat{\mathbf{a}}_{z}\,x y z.
Cada componente:
F_x=y z,\qquad F_y=y^{2},\qquad F_z=x y z.
Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial F_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y z)=0,
\frac{\partial F_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y,
\frac{\partial F_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x y z)=x y.
Portanto o divergente é
\nabla\cdot\mathscr{E}_{d}=0+2y+xy=y(2+x).

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total (corrente de deslocamento saindo do cubo) é
I_{\text{desloc}}=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathscr{E}_{d}\,dV =\iiint_{V}y(2+x)\,dV,
onde V é o cubo com x,y,z\in\left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right]. Escrevendo a integral com limites:
I_{\text{desloc}}=\int_{x=-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{1}{2}}\int_{y=-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{1}{2}}\int_{z=-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{1}{2}} y(2+x)\,dz\,dy\,dx.

Passo 5

Avaliação da integral. A função integrando não depende de z, então a integral em z apenas multiplica pelo comprimento em z, que é 1 (pois \tfrac{1}{2}-(-\tfrac{1}{2})=1):
I_{\text{desloc}}=\int_{x=-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{1}{2}}\int_{y=-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{1}{2}} y(2+x)\,dy\,dx.
Agora observe que, para cada x fixo, (2+x) é uma constante em relação a y. Então a integral interna em y é
\int_{y=-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{1}{2}} y(2+x)\,dy=(2+x)\int_{y=-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{1}{2}} y\,dy.
A função y é ímpar e o intervalo de integração é simétrico em torno de zero, portanto
\int_{y=-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{1}{2}} y\,dy=0.
Logo a integral interna é zero para todo x, e consequente
I_{\text{desloc}}=\int_{x=-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{1}{2}} 0\,dx = 0.

Passo 6

Interpretação final e comentário. O fluxo total de \mathscr{E}_{d} saindo do cubo é 0. Em palavras: embora localmente haja termos da densidade que podem gerar saída em alguns pontos, o balanço global sobre todo o cubo dá zero (simetria ímpar em y fez com que as saídas e entradas se cancelem). A unidade desse resultado é ampère ( \text{A}), já que estamos integrando densidade de corrente (A/m²) sobre uma superfície fechada, ou equivalently integrando divergência (A/m³) sobre o volume.

Resposta

0 A

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