The displacement current density within a source-free (
) cube centered about the origin is given by
Each side of the cube is 1 m long and the medium within it is free space. Find the displacement current leaving, in the outward direction, through the surface of the cube.
Passo 1
O enunciado dá a densidade de corrente de deslocamento dentro de um cubo (sem correntes de condução) centrado na origem:
O cubo tem aresta
e está centrado na origem, logo as coordenadas variam em
A pergunta é: encontrar a corrente de deslocamento que sai do cubo através da superfície, no sentido para fora (isto é, o fluxo de
através da superfície).
Passo 2
Escolha do método e breve explicação conceitual. Vou usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), porque ele transforma o cálculo do fluxo total através da superfície fechada numa integral de volume do divergente da densidade — geralmente é o jeito mais simples para campos dados no interior de volumes regulares como um cubo. Explico o teorema e o operador divergente para você entender bem:
O Teorema da Divergência afirma que, para um campo vetorial suave
,
onde
é a superfície fechada de
, a integral de superfície é o fluxo saindo para fora, e
é a divergência de
.
A divergência de um campo vetorial
é dada por
Fisicamente,
mede a taxa de “saída” por unidade de volume no ponto — se for positiva há mais saída que entrada localmente, se for negativa mais entrada.
Passo 3
Aplicando o conceito ao nosso campo
. Vamos calcular o divergente de
Cada componente:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto o divergente é
Passo 4
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total (corrente de deslocamento saindo do cubo) é
onde
é o cubo com
. Escrevendo a integral com limites:
Passo 5
Avaliação da integral. A função integrando não depende de
, então a integral em
apenas multiplica pelo comprimento em
, que é
(pois
):
Agora observe que, para cada
fixo,
é uma constante em relação a
. Então a integral interna em
é
A função
é ímpar e o intervalo de integração é simétrico em torno de zero, portanto
Logo a integral interna é zero para todo
, e consequente
Passo 6
Interpretação final e comentário. O fluxo total de
saindo do cubo é
. Em palavras: embora localmente haja termos da densidade que podem gerar saída em alguns pontos, o balanço global sobre todo o cubo dá zero (simetria ímpar em
fez com que as saídas e entradas se cancelem). A unidade desse resultado é ampère (
), já que estamos integrando densidade de corrente (A/m²) sobre uma superfície fechada, ou equivalently integrando divergência (A/m³) sobre o volume.
Resposta
0 A