The magnetic flux density produced on its plane by a current-carrying circular loop of
radius
, placed on the
plane at
, is given by
where
is the radial distance in cylindrical coordinates. Find the:
(a) Total flux in the
direction passing through the loop.
(b) Electric field at any point
within the loop. Check your answer by using Maxwell’s equation 1-1.
radius
(a) Total flux in the
(b) Electric field at any point
Passo 1
Dados do enunciado e o que se pede:
- O campo de densidade de fluxo magnético, no plano
, é
onde
é a coordenada radial cilíndrica e o laço tem raio
.
- Perguntas:
(a) Calcular o fluxo total em direçãopassando pela superfície circular do laço (ou seja, a superfície de raio em ).
(b) Determinar o campo elétrico em qualquer ponto come verificar usando a equação de Maxwell (forma diferencial ou integral).
Passo 2
Como calcular fluxo magnético: definição e elemento de área em coordenadas cilíndricas.
- O fluxo magnético através de uma superfície
é
- Para a superfície circular em
de raio , usamos coordenadas cilíndricas; o elemento de área é e aponta na direção . Logo
- Como
não depende de , ele sai da integral espacial. A integral angular dá um fator :
Passo 3
Resolver a integral radial
.
- Fazemos uma manipulação algébrica útil:
pois
.
- Assim
- Calcule cada termo:
- Portanto
- Substituindo em
:
- Podemos avaliar numericamente para
. Temos e . O fator entre parênteses vale aproximadamente
- Assim a amplitude do fluxo é
- Logo, de forma compacta:
e numericamente
Passo 4
Determinar o campo elétrico
para
usando a simetria e a lei de Faraday (forma integral).
- Simetria:
é função apenas de e e aponta em . Pelo teorema da circulação e pela simetria cilíndrica, o campo elétrico induzido será tangencial (no sentido azimutal), isto é . Além disso, depende só de e . - Usamos a forma integral da lei de Faraday:
onde
é uma circunferência de raio
(com
) e
é a área interior a
.
- Lado esquerdo:
. - Lado direito: o fluxo através do disco de raio
é
Denotando
temos
.
- Derivando em relação ao tempo:
- Portanto, pela lei de Faraday:
(Observe o sinal: a derivada de
é
, e há um menos na lei; os dois negativos se cancelam.)
- Isolando
:
- Substituindo
:
- Podemos reorganizar (cancelando
no primeiro termo interno):
- E o campo vetorial é
- Essa é a expressão do campo elétrico induzido (unidade
).
Passo 5
Verificação usando a forma diferencial de Maxwell-Faraday:
.
- Em coordenadas cilíndricas, para um campo
,
- Usando nossa
escrita como
temos
. Diferenciando em
:
Mas
, então
- Por outro lado,
- As duas expressões coincidem (mesmo fator escalar), o que confirma que a expressão de
satisfaz . Tudo consistente.
Resposta
(a)
(b)
for