The magnetic flux density produced on its plane by a current-carrying circular loop of
radius a=0.1 \mathrm{~m}, placed on the x y plane at z=0, is given by
\mathscr{B}=\hat{\mathbf{a}}_{z} \frac{10^{-12}}{1+25 \rho} \cos (1500 \pi t) \mathrm{Wb} / \mathrm{m}^{2}
where \rho is the radial distance in cylindrical coordinates. Find the:
(a) Total flux in the z direction passing through the loop.
(b) Electric field at any point \rho within the loop. Check your answer by using Maxwell’s equation 1-1.

Passo 1

Dados do enunciado e o que se pede:
  • O campo de densidade de fluxo magnético, no plano z=0, é
\mathscr{B}=\hat{\mathbf{a}}_{z}\,\frac{10^{-12}}{1+25\rho}\cos(1500\pi t)\\ \mathrm{Wb}/\mathrm{m}^{2},
onde \rho é a coordenada radial cilíndrica e o laço tem raio a=0,1\\ \mathrm{m}.
  • Perguntas:
    (a) Calcular o fluxo total em direção z passando pela superfície circular do laço (ou seja, a superfície de raio a em z=0).
    (b) Determinar o campo elétrico em qualquer ponto com \rho\le a e verificar usando a equação de Maxwell (forma diferencial ou integral).

Passo 2

Como calcular fluxo magnético: definição e elemento de área em coordenadas cilíndricas.
  • O fluxo magnético através de uma superfície S é
\Phi(t)=\iint_{S}\mathscr{B}\cdot d\mathbf{A}.
  • Para a superfície circular em z=0 de raio a, usamos coordenadas cilíndricas; o elemento de área é dA=\rho\,d\rho\,d\varphi e \mathscr{B} aponta na direção \hat{\mathbf{a}}_{z}. Logo
\Phi(t)=\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^{a}\frac{10^{-12}}{1+25\rho}\cos(1500\pi t)\,\rho\,d\rho\,d\varphi.
  • Como \cos(1500\pi t) não depende de \rho,\varphi, ele sai da integral espacial. A integral angular dá um fator 2\pi:
\Phi(t)=2\pi\cdot 10^{-12}\cos(1500\pi t)\int_{0}^{a}\frac{\rho}{1+25\rho}\,d\rho.

Passo 3

Resolver a integral radial \displaystyle \int_{0}^{a}\frac{\rho}{1+25\rho}\,d\rho.
  • Fazemos uma manipulação algébrica útil:
\frac{\rho}{1+25\rho}=\frac{1}{25}\left(1-\frac{1}{1+25\rho}\right),
pois \displaystyle \frac{1}{25}\Big(1-\frac{1}{1+25\rho}\Big)=\frac{25\rho}{25(1+25\rho)}=\frac{\rho}{1+25\rho}.
  • Assim
\int_{0}^{a}\frac{\rho}{1+25\rho}\,d\rho=\frac{1}{25}\int_{0}^{a}1\,d\rho-\frac{1}{25}\int_{0}^{a}\frac{1}{1+25\rho}\,d\rho.
  • Calcule cada termo: \frac{1}{25}\int_{0}^{a}1\,d\rho=\frac{a}{25},
\frac{1}{25}\int_{0}^{a}\frac{1}{1+25\rho}\,d\rho=\frac{1}{25}\cdot\frac{1}{25}\Big[\ln(1+25\rho)\Big]_{0}^{a}=\frac{1}{625}\ln(1+25a).
  • Portanto
\int_{0}^{a}\frac{\rho}{1+25\rho}\,d\rho=\frac{a}{25}-\frac{1}{625}\ln(1+25a).
  • Substituindo em \Phi(t):
\Phi(t)=2\pi\cdot 10^{-12}\cos(1500\pi t)\left(\frac{a}{25}-\frac{1}{625}\ln(1+25a)\right).
  • Podemos avaliar numericamente para a=0,1. Temos 25a=2,5 e \ln(1+25a)=\ln(3,5)\approx 1,252762968. O fator entre parênteses vale aproximadamente
\frac{0,1}{25}-\frac{1}{625}\ln(3,5)=0,004-0,0016\cdot 1,252762968\approx 0,00199557925.
  • Assim a amplitude do fluxo é
2\pi\cdot 10^{-12}\cdot 0,00199557925\approx 1,2536\times 10^{-14}.
  • Logo, de forma compacta:
\Phi(t)=\big(2\pi\cdot 10^{-12}\big)\!\left(\frac{a}{25}-\frac{1}{625}\ln(1+25a)\right)\!\cos(1500\pi t)
e numericamente
\Phi(t)\approx 1,2536\times 10^{-14}\cos(1500\pi t)\\ \mathrm{Wb}.

Passo 4

Determinar o campo elétrico \mathbf{E}(\rho,t) para \rho\le a usando a simetria e a lei de Faraday (forma integral).
  • Simetria: B_z é função apenas de \rho e t e aponta em \hat{\mathbf{a}}_{z}. Pelo teorema da circulação e pela simetria cilíndrica, o campo elétrico induzido será tangencial (no sentido azimutal), isto é \mathbf{E}=E_{\varphi}(\rho,t)\,\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}. Além disso, E_{\varphi} depende só de \rho e t.
  • Usamos a forma integral da lei de Faraday:
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d}{dt}\int_{S}\mathscr{B}\cdot d\mathbf{A},
onde \mathcal{C} é uma circunferência de raio \rho (com \rho\le a) e S é a área interior a \mathcal{C}.
  • Lado esquerdo: \oint_{\mathcal{C}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=E_{\varphi}(\rho,t)\cdot (2\pi\rho).
  • Lado direito: o fluxo através do disco de raio \rho é
\Phi(\rho,t)=2\pi\cdot 10^{-12}\cos(1500\pi t)\int_{0}^{\rho}\frac{\rho'}{1+25\rho'}\,d\rho'.
Denotando
I(\rho)=\int_{0}^{\rho}\frac{\rho'}{1+25\rho'}\,d\rho'=\frac{\rho}{25}-\frac{1}{625}\ln(1+25\rho),
temos \Phi(\rho,t)=2\pi\cdot 10^{-12}\cos(1500\pi t)\,I(\rho).
  • Derivando em relação ao tempo:
\frac{d\Phi(\rho,t)}{dt}=2\pi\cdot 10^{-12}\cdot(-1500\pi)\sin(1500\pi t)\,I(\rho).
  • Portanto, pela lei de Faraday:
E_{\varphi}(\rho,t)\cdot(2\pi\rho)=-\frac{d\Phi(\rho,t)}{dt}=2\pi\cdot 10^{-12}\cdot 1500\pi\sin(1500\pi t)\,I(\rho).
(Observe o sinal: a derivada de \cos é -\sin, e há um menos na lei; os dois negativos se cancelam.)
  • Isolando E_{\varphi}:
E_{\varphi}(\rho,t)=\frac{10^{-12}\,1500\pi}{\rho}\sin(1500\pi t)\,I(\rho).
  • Substituindo I(\rho):
E_{\varphi}(\rho,t)=\frac{10^{-12}\,1500\pi}{\rho}\sin(1500\pi t)\left(\frac{\rho}{25}-\frac{1}{625}\ln(1+25\rho)\right).
  • Podemos reorganizar (cancelando \rho no primeiro termo interno):
E_{\varphi}(\rho,t)=10^{-12}\,1500\pi\sin(1500\pi t)\left(\frac{1}{25}-\frac{1}{625\rho}\ln(1+25\rho)\right).
  • E o campo vetorial é
\mathbf{E}(\rho,t)=E_{\varphi}(\rho,t)\,\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}\qquad(\rho\le a).
  • Essa é a expressão do campo elétrico induzido (unidade \mathrm{V}/\mathrm{m}).

Passo 5

Verificação usando a forma diferencial de Maxwell-Faraday: \nabla\times\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathscr{B}}{\partial t}.
  • Em coordenadas cilíndricas, para um campo \mathbf{E}=E_{\varphi}(\rho,t)\,\hat{\mathbf{a}}_{\varphi},
(\nabla\times\mathbf{E})_{z}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho E_{\varphi}(\rho,t)\big).
  • Usando nossa E_{\varphi} escrita como
E_{\varphi}(\rho,t)=\frac{10^{-12}\,1500\pi}{\rho}\sin(1500\pi t)\,I(\rho),
temos \rho E_{\varphi}=10^{-12}\,1500\pi\sin(1500\pi t)\,I(\rho). Diferenciando em \rho:
\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho E_{\varphi}\big)=\frac{1}{\rho}\,10^{-12}\,1500\pi\sin(1500\pi t)\,I'(\rho).
Mas I'(\rho)=\dfrac{\rho}{1+25\rho}, então
(\nabla\times\mathbf{E})_{z}=10^{-12}\,1500\pi\sin(1500\pi t)\frac{1}{1+25\rho}.
  • Por outro lado,
-\frac{\partial\mathscr{B}}{\partial t}=-\hat{\mathbf{a}}_{z}\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\frac{10^{-12}}{1+25\rho}\cos(1500\pi t)\right) =\hat{\mathbf{a}}_{z}\frac{10^{-12}\,1500\pi}{1+25\rho}\sin(1500\pi t).
  • As duas expressões coincidem (mesmo fator escalar), o que confirma que a expressão de \mathbf{E} satisfaz \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathscr{B}/\partial t. Tudo consistente.

Resposta

(a) \displaystyle \Phi(t)=2\pi\cdot 10^{-12}\left(\frac{a}{25}-\frac{1}{625}\ln(1+25a)\right)\cos(1500\pi t)\approx 1,2536\times 10^{-14}\cos(1500\pi t)\\ \mathrm{Wb}
(b) \displaystyle \mathbf{E}(\rho,t)=\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}\,\frac{10^{-12}\,1500\pi}{\rho}\sin(1500\pi t)\left(\frac{\rho}{25}-\frac{1}{625}\ln(1+25\rho)\right)\\ \mathrm{V}/\mathrm{m} for 0\le\rho\le a

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