Dada a curva
,
Mostre que
está contida numa superficie esférica;
Mostre que
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos uma curva
e pede pra mostrar que todos os pontos dessa curva ficam sobre alguma superfície esférica.
Conteúdo: definição de esfera em e como testar se uma curva está “presinha” nessa esfera (isto é, se a distância até um centro é constante).
e pede pra mostrar que todos os pontos dessa curva ficam sobre alguma superfície esférica.
Conteúdo: definição de esfera em
Passo 2
Teoria rápida: uma esfera de centro
e raio
obedece
Para ver se a curva
está nessa esfera, a ideia é computar
e checar se é independente de
.
Passo 3
Uma escolha natural é tentar o centro na origem
.
Aí a conta vira
Aí a conta vira
Passo 4
Agora simplificamos passo a passo:
- .
- Expandindo
. - E
.
Somando tudo:
Logo a distância ao centro é sempre
.
Resposta
A curva
está contida na esfera de centro
e raio
, pois
para todo
.