Dada a curva alpha(theta)=(sen 2 theta, 1-cos 2 theta, 2 cos theta),
Mostre que alpha está contida numa superficie esférica;

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos uma curva

e pede pra mostrar que todos os pontos dessa curva ficam sobre alguma superfície esférica.
Conteúdo: definição de esfera em e como testar se uma curva está “presinha” nessa esfera (isto é, se a distância até um centro é constante).

Passo 2

Teoria rápida: uma esfera de centro (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 e raio obedece
Para ver se a curva está nessa esfera, a ideia é computar
e checar se é independente de .

Passo 3

Uma escolha natural é tentar o centro na origem |alpha(theta)|^2 = (sen 2theta)^2 + (1-cos 2theta)^2 + (2costheta)^2 .
Aí a conta vira

Passo 4

Agora simplificamos passo a passo:
  1. .
  2. Expandindo |alpha(theta)|^2 &= underbrace(sen2theta)^2 + cos^2 2theta=1 + l(1 - 2cos2theta + cos^2 2thetar) + 2(1+cos2theta) [6pt] &= 1 + 1 - 2cos2theta + cos^2 2theta + 2 + 2cos2theta &= (1+1+2) + underbrace(-2cos2theta +2cos2theta)0 + cos^2 2theta &= 4 + (cos^2 2theta - cos^2 2theta) (a parte (cos^2 2theta) já foi usada no 1) &= 4 .
  3. E .
Somando tudo:
Logo a distância ao centro é sempre .

Resposta

A curva está contida na esfera de centro e raio , pois
para todo .

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