• The telescope on Mount Palomar has a diameter of 200 in . Suppose a double star were 4.00 light-years away. Under ideal conditions, what must be the minimum separation of the two stars for their images to be resolved using light that has a wavelength equal to 550 nm ?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar os dados explicitamente):
  • Diâmetro do telescópio: 200\\ \text{in}.
  • Distância até a dupla estelar: 4,00\\ \text{light\text{-}years}.
  • Comprimento de onda da luz usada: 550\\ \text{nm}.
    O que se pede:
  • A separação linear mínima entre as duas estrelas (em metros, e depois em unidades úteis) para que suas imagens sejam resolvidas sob condições ideais.

Passo 2

Converter todas as grandezas para unidades do SI para poder calcular sem confusão.
Converter o diâmetro D:
D = 200\\ \text{in} \times 2,54\\ \frac{\text{cm}}{\text{in}} = 508\\ \text{cm} = 5,08\\ \text{m}.
Converter o comprimento de onda \lambda:
\lambda = 550\\ \text{nm} = 550\times10^{-9}\\ \text{m} = 5,50\times10^{-7}\\ \text{m}.
Converter a distância d. Vou usar a aproximação padrão para ano-luz:
1\\ \text{ly} = 9,4607\times10^{15}\\ \text{m}.
Logo
d = 4,00\\ \text{ly} = 4,00\times 9,4607\times10^{15}\\ \text{m} = 3,78428\times10^{16}\\ \text{m}.

Passo 3

Explicar o critério de resolução e calcular o ângulo mínimo separável.
Sob condições ideais, a resolução angular limitada pela difração de um espelho circular é dada pelo critério de Rayleigh:
\theta = 1,22\,\frac{\lambda}{D},
onde
  • \theta é a menor separação angular resolvível (em radianos),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz,
  • D é o diâmetro da abertura do telescópio.
    Esse fator 1,22 vem da posição do primeiro mínimo do padrão de difração (padrão de Airy) para uma abertura circular.
Substituindo os valores:
\theta = 1,22\frac{5,50\times10^{-7}}{5,08}.
Calcule o numerador:
1,22\times5,50\times10^{-7} = 6,71\times10^{-7}.
Agora a divisão:
\theta = \frac{6,71\times10^{-7}}{5,08} = 1,32008\times10^{-7}\\ \text{rad}.
Arredondando razoavelmente:
\theta \approx 1,32\times10^{-7}\\ \text{rad}.

Passo 4

Converter a separação angular em separação linear entre as estrelas.
Para ângulos pequenos (em radianos) a separação linear mínima s a uma distância d é dada por:
s = \theta\,d.
Substituindo:
s = (1,32008\times10^{-7})\times(3,78428\times10^{16}) = 4,997\times10^{9}\\ \text{m}.
Arredondando:
s \approx 4,99\times10^{9}\\ \text{m}.
Converter para unidades mais intuitivas:
Em quilômetros:
s \approx 4,99\times10^{9}\\ \text{m} = 4,99\times10^{6}\\ \text{km}.
Em unidades astronômicas ( 1\\ \text{AU}=1,496\times10^{11}\\ \text{m}):
s = \frac{4,997\times10^{9}}{1,496\times10^{11}} \approx 0,0334\\ \text{AU}.
Comparação rápida para intuição: s é cerca de 4,99\times10^{6}\\ \text{km}, ou aproximadamente 13 vezes a distância média Terra-Lua ( \approx384{,}4\times10^{3}\\ \text{km}).

Passo 5

Resumo didático do procedimento (para a prova):
  • Converter tudo para SI.
  • Usar o critério de Rayleigh \theta=1,22\lambda/D para obter o ângulo mínimo resolvível (em rad).
  • Aplicar a aproximação do pequeno ângulo s=\theta d para transformar ângulo em separação linear.
  • Fazer as conversões finais para as unidades que o enunciado ou o contexto pedir.
Boa! Esse é o procedimento que você deve aplicar na prova — é curto, direto e dá pra fazer à mão se mantiveres uma notação organizada.

Resposta

4,99\times10^{9}\\ \text{m} \approx 4,99\times10^{6}\\ \text{km} \approx 0,0334\\ \text{AU}

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