- The telescope on Mount Palomar has a diameter of 200 in . Suppose a double star were 4.00 light-years away. Under ideal conditions, what must be the minimum separation of the two stars for their images to be resolved using light that has a wavelength equal to 550 nm ?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar os dados explicitamente):
- Diâmetro do telescópio:
. - Distância até a dupla estelar:
. - Comprimento de onda da luz usada:
.
O que se pede: - A separação linear mínima entre as duas estrelas (em metros, e depois em unidades úteis) para que suas imagens sejam resolvidas sob condições ideais.
Passo 2
Converter todas as grandezas para unidades do SI para poder calcular sem confusão.
Converter o diâmetro
:
Converter o comprimento de onda
:
Converter a distância
. Vou usar a aproximação padrão para ano-luz:
Logo
Passo 3
Explicar o critério de resolução e calcular o ângulo mínimo separável.
Sob condições ideais, a resolução angular limitada pela difração de um espelho circular é dada pelo critério de Rayleigh:
onde
-
é a menor separação angular resolvível (em radianos), -
é o comprimento de onda da luz, -
é o diâmetro da abertura do telescópio.
Esse fatorvem da posição do primeiro mínimo do padrão de difração (padrão de Airy) para uma abertura circular.
Substituindo os valores:
Calcule o numerador:
Agora a divisão:
Arredondando razoavelmente:
Passo 4
Converter a separação angular em separação linear entre as estrelas.
Para ângulos pequenos (em radianos) a separação linear mínima
a uma distância
é dada por:
Substituindo:
Arredondando:
Converter para unidades mais intuitivas:
Em quilômetros:
Em unidades astronômicas (
):
Comparação rápida para intuição:
é cerca de
, ou aproximadamente
vezes a distância média Terra-Lua (
).
Passo 5
Resumo didático do procedimento (para a prova):
- Converter tudo para SI.
- Usar o critério de Rayleigh
para obter o ângulo mínimo resolvível (em rad). - Aplicar a aproximação do pequeno ângulo
para transformar ângulo em separação linear. - Fazer as conversões finais para as unidades que o enunciado ou o contexto pedir.
Boa! Esse é o procedimento que você deve aplicar na prova — é curto, direto e dá pra fazer à mão se mantiveres uma notação organizada.