Light that has a wavelength equal to 600 nm is used to illuminate two glass plates at normal incidence. The plates are 22 cm in length, touch at one end, and are separated at the other end by a wire that has a radius equal to 0.025 mm . How many bright fringes appear along the total length of the plates?

Passo 1

O enunciado pede o número de franjas brilhantes observadas ao longo de toda a lâmina formada pelas duas placas. Dados fornecidos (convertidos para o SI):
  • Comprimento da placa: L = 22\\ \text{cm} = 0,22\\ \text{m}.
  • Comprimento de onda da luz: \lambda = 600\\ \text{nm} = 600\times10^{-9}\\ \text{m} = 6,0\times10^{-7}\\ \text{m}.
  • Raio do fio que separa as placas: r = 0,025\\ \text{mm} = 0,025\times10^{-3}\\ \text{m} = 2,5\times10^{-5}\\ \text{m}.
Observação geométrica importante (tirada do enunciado): as placas se tocam em uma ponta e são separadas na outra por um fio de raio r. A separação máxima (no extremo oposto ao contato) é, portanto, o diâmetro do fio:
s = 2r.
O que se quer: número N de franjas brilhantes ao longo do comprimento total L.

Passo 2

Geometria da cunha de ar e espessura local. A abertura entre as placas forma um ângulo muito pequeno; a espessura do ar a uma distância x do ápice (ponto onde as placas se tocam) varia linearmente:
t(x)=\frac{s}{L}\,x,
onde t(x) é a espessura do ar no ponto x medido desde o ápice (com 0\le x\le L) e s é a espessura máxima em x=L (aqui s=2r). Isso vem de semelhança de triângulos: proporção entre espessura e comprimento.

Passo 3

Condição de interferência (explicação didática e física). Estamos observando as franjas em luz refletida das duas superfícies que delimitam a cunha de ar. Há duas reflexões relevantes: uma na face inferior da placa superior (passagem vidro \to ar) e outra na face superior da placa inferior (passagem ar \to vidro). Importante sobre mudança de fase na reflexão:
  • Reflexão ao passar de meio de menor índice para maior índice (ar \to vidro) adiciona uma inversão de fase de \pi (equivalente a \lambda/2 no caminho).
  • Reflexão ao passar de meio maior para menor (vidro \to ar) não adiciona inversão de fase.
Portanto há uma diferença de fase fixa de \pi entre as duas ondas refletidas, além da diferença de caminho geométrica. A diferença de caminho geométrica entre as duas ondas é 2t (a onda que reflete na face inferior da placa superior percorre dentro da cunha ida e volta por uma distância 2t). Convertendo para fase, essa diferença corresponde a \dfrac{2\pi}{\lambda}\,2t.
Somando a inversão de fase \pi, a condição de máxima interferência construtiva (franja brilhante) é:
\frac{2\pi}{\lambda}\,2t + \pi = 2\pi m,
onde m é inteiro. Dividindo por 2\pi e isolando t obtemos a forma conveniente (reindexando com m=0,1,2,\dots):
2t = \bigl(m+\tfrac{1}{2}\bigr)\lambda,\qquad m=0,1,2,\ldots
Comentário prático: no ápice ( t=0) não há franja brilhante (é uma franja escura), o que condiz com a fórmula acima porque t=0 não satisfaz para m inteiro.

Passo 4

Relacionando a condição de franjas com a posição x. Substituindo t=t(x)=\dfrac{s}{L}x na condição de franja brilhante:
2\frac{s}{L}x = \bigl(m+\tfrac{1}{2}\bigr)\lambda.
Isto dá a posição x_m da m-ésima franja brilhante medida a partir do ápice:
x_m = \frac{(m+\tfrac{1}{2})\lambda\,L}{2s}.
Queremos todas as franjas que cabem entre x=0 e x=L. A condição x_m\le L implica
\frac{(m+\tfrac{1}{2})\lambda\,L}{2s}\le L \quad\Longrightarrow\quad m+\tfrac{1}{2}\le\frac{2s}{\lambda}.
Logo os valores inteiros m válidos vão de m=0 até
m_{\max} = \left\lfloor \frac{2s}{\lambda}-\tfrac{1}{2}\right\rfloor.
O número total de franjas brilhantes é N=m_{\max}+1. Reescrevendo de forma mais direta:
N=\left\lfloor \frac{2s}{\lambda}-\tfrac{1}{2}\right\rfloor + 1 = \left\lfloor \frac{2s}{\lambda}+\tfrac{1}{2}\right\rfloor.

Passo 5

Substituir s=2r e calcular numericamente. Com s=2r temos 2s=4r. Portanto
N=\left\lfloor \frac{4r}{\lambda}+\tfrac{1}{2}\right\rfloor.
Agora os números (mostrando contas passo a passo):
  • Primeiro calcule 4r:
4r = 4\cdot(2,5\times10^{-5}\\ \text{m}) = 1,0\times10^{-4}\\ \text{m}.
  • Divida por \lambda:
\frac{4r}{\lambda} = \frac{1,0\times10^{-4}}{6,0\times10^{-7}} = \frac{1,0}{6,0}\times10^{3} \approx 166,666\ldots
  • Some +\tfrac{1}{2}=0,5:
\frac{4r}{\lambda}+\tfrac{1}{2} \approx 166,666\ldots + 0,5 = 167,166\ldots
  • Aplicando a função piso (parte inteira):
N = \left\lfloor 167,166\ldots\right\rfloor = 167.

Passo 6

Interpretação final e dica prática: o número de franjas brilhantes ao longo de toda a placa depende apenas da espessura máxima s (aqui o diâmetro do fio) e do comprimento de onda; o comprimento físico L cancela ao contar quantas franjas cabem entre ápice e fim da cunha. No exame, reconhecer a condição 2t=(m+\tfrac12)\lambda para luz refletida é a chave; a partir daí é conta rápida.

Resposta

167 franjas brilhantes.

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