The temperature
in a metal ball is inversely proportional to the distance from the center of the ball, which we take to be the origin. The temperature at the point
is
.
(a) Find the rate of change of
at
in the direction toward the point
.
(b) Show that at any point in the ball the direction of greatest increase in temperature is given by a vector that points toward the origin.
(a) Find the rate of change of
(b) Show that at any point in the ball the direction of greatest increase in temperature is given by a vector that points toward the origin.
Passo 1
O enunciado diz que a temperatura
em uma bola metálica é inversamente proporcional à distância
ao centro (origem). Então temos
Foi dado que em
vale
. Vamos precisar de cálculo de gradiente e derivada direcional para (a) e interpretar o gradiente para (b).
Passo 2
Determinar a constante
usando o ponto
. Aqui
e como
, segue
Passo 3
Escrever
explicitamente e calcular
. Temos
Pela regra de gradiente de
com
,
Passo 4
Avaliar
em
. Como
,
Passo 5
Para (a), achar a derivada direcional na direção de
partindo de
. O vetor direção é
e o versor correspondente é
Passo 6
A derivada direcional é
. Logo
Passo 7
Para (b), observar que o gradiente em qualquer ponto
vale
que é um múltiplo negativo de
. Como
aponta para fora (para o ponto),
aponta para dentro, ou seja, em direção à origem. E sabemos que o gradiente indica a direção de maior aumento de
.
Resposta
(a)
(b) A direção de maior aumento é dada por , ou seja, aponta em direção à origem.
(b) A direção de maior aumento é dada por