The temperature T in a metal ball is inversely proportional to the distance from the center of the ball, which we take to be the origin. The temperature at the point (1,2,2) is 120^{\circ}.
(a) Find the rate of change of T at (1,2,2) in the direction toward the point (2,1,3).
(b) Show that at any point in the ball the direction of greatest increase in temperature is given by a vector that points toward the origin.

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura T em uma bola metálica é inversamente proporcional à distância r ao centro (origem). Então temos
T(x,y,z)=\frac{k}{r} \quad\text{com}\quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Foi dado que em (1,2,2) vale T=120^\circ. Vamos precisar de cálculo de gradiente e derivada direcional para (a) e interpretar o gradiente para (b).

Passo 2

Determinar a constante k usando o ponto (1,2,2). Aqui
r(1,2,2)=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3,
e como T(1,2,2)=120, segue
\frac{k}{3}=120 \quad\Longrightarrow\quad k=360.

Passo 3

Escrever T explicitamente e calcular \nabla T. Temos
T(x,y,z)=360\,(x^2+y^2+z^2)^{-\tfrac12}.
Pela regra de gradiente de f(u) =u^{-1/2} com u=x^2+y^2+z^2,
\nabla T =360\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}\,(2x,2y,2z) =-360\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}.

Passo 4

Avaliar \nabla T em (1,2,2). Como x^2+y^2+z^2=9,
\nabla T(1,2,2) =-360\frac{(1,2,2)}{9^{3/2}} =-360\frac{(1,2,2)}{27} =-\frac{360}{27}(1,2,2) =-\frac{40}{3}(1,2,2).

Passo 5

Para (a), achar a derivada direcional na direção de (2,1,3) partindo de (1,2,2). O vetor direção é
v=(2-1,\,1-2,\,3-2)=(1,-1,1),
e o versor correspondente é
u=\frac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}(1,-1,1) =\frac1{\sqrt3}(1,-1,1).

Passo 6

A derivada direcional é \nabla T(1,2,2)\cdot u. Logo
D_uT =\Bigl(-\tfrac{40}{3},-\tfrac{80}{3},-\tfrac{80}{3}\Bigr)\!\cdot\! \frac1{\sqrt3}(1,-1,1) =\frac{1}{\sqrt3}\Bigl(-\tfrac{40}{3}+\tfrac{80}{3}-\tfrac{80}{3}\Bigr) =-\frac{40}{3\sqrt3}.

Passo 7

Para (b), observar que o gradiente em qualquer ponto (x,y,z) vale
\nabla T(x,y,z) =-360\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},
que é um múltiplo negativo de (x,y,z). Como (x,y,z) aponta para fora (para o ponto), -\,(x,y,z) aponta para dentro, ou seja, em direção à origem. E sabemos que o gradiente indica a direção de maior aumento de T.

Resposta

(a) \displaystyle -\frac{40}{3\sqrt3}.
(b) A direção de maior aumento é dada por -\,(x,y,z), ou seja, aponta em direção à origem.

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