Near a buoy, the depth of a lake at the point with coordinates (x, y) is z=200+0.02 x^{2}-0.001 y^{3}, where x, y, and z are measured in meters. A fisherman in a small boat starts at the point (80,60) and moves toward the buoy, which is located at (0,0). Is the water under the boat getting deeper or shallower when he departs? Explain.

Passo 1

Temos a profundidade dada por
z(x,y)=200+0.02\,x^{2}-0.001\,y^{3}
e o pescador parte do ponto (80,60) em direção ao boião em (0,0). Para saber se a profundidade aumenta (fica mais funda) ou diminui (fica mais rasa), vamos calcular a derivada direcional de z nessa direção a partir de (80,60).

Passo 2

Calcular o gradiente de z. As derivadas parciais são
\frac{\partial z}{\partial x}=0.04\,x, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-0.003\,y^{2}.

Passo 3

Avaliar o gradiente em (x,y)=(80,60):
\nabla z(80,60) = \bigl(0.04\cdot 80,\,-0.003\cdot 60^{2}\bigr) = (3.2,\,-10.8).

Passo 4

A direção do movimento é do ponto (80,60) para (0,0), dada pelo vetor
\mathbf{v}=(-80,\,-60).
O vetor unitário nessa direção é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} =\frac{(-80,-60)}{\sqrt{80^{2}+60^{2}}} =\bigl(-0.8,-0.6\bigr).

Passo 5

A derivada direcional de z em (80,60) na direção \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}z =\nabla z(80,60)\cdot \mathbf{u} =3.2\cdot(-0.8)+(-10.8)\cdot(-0.6) =-2.56+6.48 =3.92.
Como D_{\mathbf{u}}z>0, a profundidade z cresce ao mover-se nessa direção.

Resposta

A água sob o barco está ficando mais funda (a profundidade aumenta) quando ele parte de (80,60) em direção ao boião.

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