Find the directions in which the directional derivative of f(x, y)=y e^{-x y} at the point (0,2) has the value 1 .

Passo 1

O enunciado pede os vetores de direção unitários \mathbf{u}=(u_1,u_2) tais que a derivada direcional de
f(x,y)=y\,e^{-xy}
no ponto (0,2) vale 1. O conteúdo principal é que
D_{\mathbf{u}}f(0,2)=\nabla f(0,2)\cdot\mathbf{u}=1
com a restrição \|\mathbf{u}\|=1.

Passo 2

Calculemos o gradiente de f. As derivadas parciais são
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\,e^{-xy}\bigr) =-y^2\,e^{-xy},
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{-xy}\bigr) =e^{-xy}-x\,y\,e^{-xy}.

Passo 3

Avalie essas derivadas em (0,2):
f_x(0,2)=-2^2\,e^{0}=-4,
f_y(0,2)=e^{0}-0=1.
Logo
\nabla f(0,2)=(-4,\,1).

Passo 4

A condição D_{\mathbf{u}}f(0,2)=1 é
\nabla f(0,2)\cdot(u_1,u_2)=-4\,u_1+1\cdot u_2=1
com a restrição
u_1^2+u_2^2=1.
Da primeira equação isolamos
u_2=1+4\,u_1
e substituímos na condição de norma.

Passo 5

Substituindo em u_1^2+u_2^2=1 vem
u_1^2+(1+4u_1)^2=1 \quad\Longrightarrow\quad u_1^2+1+8u_1+16u_1^2=1 \quad\Longrightarrow\quad 17u_1^2+8u_1=0
u_1\,(17u_1+8)=0 \quad\Longrightarrow\quad u_1=0 \quad\text{ou}\quad u_1=-\frac{8}{17}.
Para u_1=0 temos u_2=1.
Para u_1=-\tfrac{8}{17} temos
u_2=1+4\Bigl(-\tfrac{8}{17}\Bigr) =1-\tfrac{32}{17} =-\tfrac{15}{17}.

Resposta

Os dois vetores unitários são
(0,\,1) \quad\text{e}\quad \Bigl(-\tfrac{8}{17},\,-\tfrac{15}{17}\Bigr).

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