The temperature at a point
is given by
where
is measured in
and
in meters.
(a) Find the rate of change of temperature at the point
in the direction toward the point
.
(b) In which direction does the temperature increase fastest at
?
(c) Find the maximum rate of increase at
.
(a) Find the rate of change of temperature at the point
(b) In which direction does the temperature increase fastest at
(c) Find the maximum rate of increase at
Passo 1
O enunciado dá a temperatura
e pede em
: (a) a derivada direcional rumo a
, (b) a direção de maior aumento e (c) o valor desse aumento máximo. Vamos usar a noção de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
aplicando a regra da cadeia. Se
então
e
Passo 3
Em
temos
, logo
Passo 4
O vetor que vai de
a
é
. Seu versor é
A derivada direcional é
Passo 5
A direção de maior aumento de
em
é a do próprio gradiente, isto é,
ou seu versor
.
Passo 6
O valor máximo da derivada direcional em
é a norma de
. Como
essa é a taxa máxima de aumento.
Resposta
(a)
(b) (ou o versor correspondente)
(c)
(b)
(c)