The temperature at a point (x, y, z) is given by
T(x, y, z)=200 e^{-x^{2}-3 y^{2}-9 z^{2}}
where T is measured in { }^{\circ} \mathrm{C} and x, y, z in meters.
(a) Find the rate of change of temperature at the point P(2,-1,2) in the direction toward the point (3,-3,3).
(b) In which direction does the temperature increase fastest at P ?
(c) Find the maximum rate of increase at P.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura
T(x,y,z)=200\,e^{-x^{2}-3y^{2}-9z^{2}}
e pede em P(2,-1,2): (a) a derivada direcional rumo a (3,-3,3), (b) a direção de maior aumento e (c) o valor desse aumento máximo. Vamos usar a noção de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Calculamos o gradiente de T aplicando a regra da cadeia. Se
f(x,y,z)=-x^{2}-3y^{2}-9z^{2},
então T=200e^{f} e
\nabla T(x,y,z) =200e^{f}\,\nabla f =200e^{-x^{2}-3y^{2}-9z^{2}}\bigl(-2x,\,-6y,\,-18z\bigr).

Passo 3

Em P(2,-1,2) temos f(P)=-4-3-36=-43, logo
\nabla T(2,-1,2) =e^{-43}\bigl(-400\cdot2,\,-1200\cdot(-1),\,-3600\cdot2\bigr) =e^{-43}\bigl(-800,\,1200,\,-7200\bigr).

Passo 4

O vetor que vai de P a (3,-3,3) é \bigl(1,-2,1\bigr). Seu versor é
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{1+4+1}}\,(1,-2,1) =\frac{1}{\sqrt{6}}\,(1,-2,1).
A derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}T(P) =\nabla T(2,-1,2)\cdot \mathbf{u} =\frac{1}{\sqrt{6}}\,e^{-43}\bigl(-800-2400-7200\bigr) =-\frac{10400}{\sqrt{6}}\,e^{-43}.

Passo 5

A direção de maior aumento de T em P é a do próprio gradiente, isto é,
(-800,\,1200,\,-7200),
ou seu versor \nabla T/|\nabla T|.

Passo 6

O valor máximo da derivada direcional em P é a norma de \nabla T(P). Como
|\nabla T(2,-1,2)| =e^{-43}\sqrt{(-800)^{2}+1200^{2}+(-7200)^{2}} =e^{-43}\,400\sqrt{337},
essa é a taxa máxima de aumento.

Resposta

(a) -\dfrac{10400}{\sqrt{6}}\,e^{-43}
(b) ( -800,\,1200,\,-7200) (ou o versor correspondente)
(c) 400\sqrt{337}\,e^{-43}

Exercícios relacionados