The time-harmonic instantaneous electric field traveling along the z axis, in a free-space medium, is given by
\mathscr{E}(z, t)=\hat{\mathbf{a}}_{x} E_{0} \sin \left[\left(\omega t-\beta_{0} z\right)+\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]
where E_{0} is a real constant and \beta_{0}=\omega \sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}.
a) Write an expression for the complex spatial electric field intensity \mathbf{E}(z).
c) Determine the time-average Poynting vector (average power density) \mathbf{S}_{\text {ave }}.
d) Find the corresponding complex spatial magnetic field intensity \mathbf{H}(z).

Passo 1

O enunciado fornece o campo elétrico instantâneo que viaja ao longo do eixo z no vácuo:
\mathscr{E}(z,t)=\hat{\mathbf{a}}_{x} E_{0} \sin\left[\left(\omega t-\beta_{0} z\right)+\left(\frac{\pi}{2}\right)\right],
com E_{0} real e \beta_{0}=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}.
As perguntas são:
a) escrever a expressão do campo elétrico espacial complexo \mathbf{E}(z) (o fasor espacial);
c) determinar o vetor de Poynting médio no tempo \mathbf{S}_{\text{ave}} (densidade de potência média);
d) encontrar o campo magnético espacial complexo \mathbf{H}(z).
Dados relevantes: direção do campo elétrico é \hat{\mathbf{a}}_{x}, o meio é o vácuo com \mu_{0},\varepsilon_{0} e impedância intrínseca \eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}}.

Passo 2

Primeiro simplificamos a forma temporal: use a identidade trigonométrica \sin(\theta+\pi/2)=\cos\theta. Portanto
\mathscr{E}(z,t)=\hat{\mathbf{a}}_{x} E_{0} \cos\!\left(\omega t-\beta_{0} z\right).
Aqui vou introduzir o conceito de fasor (representação complexa): para campos harmônicos no tempo, é comum escrever o campo instantâneo como a parte real de um fasor multiplicado por e^{j\omega t}, isto é
\mathscr{E}(z,t)=\Re\{\mathbf{E}(z)\,e^{j\omega t}\}.
A tarefa (a) pede justamente \mathbf{E}(z): precisamos escolher um \mathbf{E}(z) complexo tal que \Re\{\mathbf{E}(z)e^{j\omega t}\}=\hat{\mathbf{a}}_{x} E_{0}\cos(\omega t-\beta_{0} z). Uma escolha direta é
\mathbf{E}(z)=\hat{\mathbf{a}}_{x} E_{0} e^{-j\beta_{0} z},
porque verificando:
\Re\{\hat{\mathbf{a}}_{x} E_{0} e^{-j\beta_{0} z} e^{j\omega t}\} =\hat{\mathbf{a}}_{x} E_{0}\Re\{e^{j(\omega t-\beta_{0} z)}\} =\hat{\mathbf{a}}_{x} E_{0}\cos(\omega t-\beta_{0} z),
que recupera exatamente o campo instantâneo dado. Portanto a resposta do item (a) é essa.

Passo 3

Agora vamos achar o campo magnético complexo \mathbf{H}(z) (item d). Para uma onda plana no vácuo que se propaga na direção +z com \mathbf{E} ao longo de x, o campo \mathbf{H} é ortogonal a \mathbf{E} e satisfaz a relação de impedância intrínseca. Duas formas de obter \mathbf{H}:
  1. Relação física simples: a amplitude de H é E_{0}/\eta_{0} e a direção é \hat{\mathbf{a}}_{y} (para que \hat{\mathbf{a}}_{x}\times\hat{\mathbf{a}}_{y}=\hat{\mathbf{a}}_{z}, direção da propagação). Logo
\mathbf{H}(z)=\hat{\mathbf{a}}_{y}\frac{E_{0}}{\eta_{0}}e^{-j\beta_{0} z}.
  1. Se preferir ver via equações de Maxwell (phasor): \nabla\times\mathbf{E}=-j\omega\mu_{0}\mathbf{H}. Para \mathbf{E}=\hat{\mathbf{a}}_{x}E_{0}e^{-j\beta_{0} z} temos
(\nabla\times\mathbf{E})_{y}=\frac{\partial E_{x}}{\partial z}=-j\beta_{0}E_{0}e^{-j\beta_{0} z}.
Então
-j\omega\mu_{0}H_{y}=-j\beta_{0}E_{0}e^{-j\beta_{0} z}\quad\Rightarrow\quad H_{y}=\frac{\beta_{0}}{\omega\mu_{0}}E_{0}e^{-j\beta_{0} z}.
Como \beta_{0}=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} segue \beta_{0}/(\omega\mu_{0})=1/\eta_{0}, dando o mesmo resultado
\mathbf{H}(z)=\hat{\mathbf{a}}_{y}\frac{E_{0}}{\eta_{0}}e^{-j\beta_{0} z}.
Essa é a resposta do item (d). (Respire, estamos quase lá — boa energia!)

Passo 4

Agora calculamos o vetor de Poynting médio no tempo (item c). A fórmula para campos fasoriais é
\mathbf{S}_{\text{ave}}=\frac{1}{2}\Re\{\mathbf{E}(z)\times\mathbf{H}^{*}(z)\},
onde (\cdot)^{*} indica conjugado complexo. Substituindo os fasores encontrados:
\mathbf{E}(z)=\hat{\mathbf{a}}_{x}E_{0}e^{-j\beta_{0} z},\qquad \mathbf{H}^{*}(z)=\hat{\mathbf{a}}_{y}\frac{E_{0}}{\eta_{0}}e^{+j\beta_{0} z}.
Fazendo o produto vetorial:
\mathbf{E}(z)\times\mathbf{H}^{*}(z) =\hat{\mathbf{a}}_{x}\times\hat{\mathbf{a}}_{y}\;E_{0}\frac{E_{0}}{\eta_{0}} \;e^{-j\beta_{0} z}e^{+j\beta_{0} z} =\hat{\mathbf{a}}_{z}\frac{E_{0}^{2}}{\eta_{0}}.
Note que os exponenciais se cancelam (onde a dependência espacial de fase some no produto). Tomando a parte real e multiplicando por 1/2,
\mathbf{S}_{\text{ave}}=\hat{\mathbf{a}}_{z}\frac{E_{0}^{2}}{2\eta_{0}}.
Interpretação: fluxo de potência médio aponta para +z (propagação da onda) e sua magnitude é E_{0}^{2}/(2\eta_{0}). Para referência, \eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}}\approx 377\\ \Omega, então a magnitude numérica seria E_{0}^{2}/(2\cdot 377) em unidades SI (W/m²) se E_{0} estiver em V/m.

Resposta

a) \mathbf{E}(z)=\hat{\mathbf{a}}_{x}E_{0}e^{-j\beta_{0} z}
c) \mathbf{S}_{\text{ave}}=\hat{\mathbf{a}}_{z}\dfrac{E_{0}^{2}}{2\eta_{0}}, com \eta_{0}=\sqrt{\dfrac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}
d) \mathbf{H}(z)=\hat{\mathbf{a}}_{y}\dfrac{E_{0}}{\eta_{0}}e^{-j\beta_{0} z}

Exercícios relacionados