The time-harmonic instantaneous electric field traveling along the
axis, in a free-space medium, is given by
where
is a real constant and
.
a) Write an expression for the complex spatial electric field intensity
.
c) Determine the time-average Poynting vector (average power density)
.
d) Find the corresponding complex spatial magnetic field intensity
.
a) Write an expression for the complex spatial electric field intensity
c) Determine the time-average Poynting vector (average power density)
d) Find the corresponding complex spatial magnetic field intensity
Passo 1
O enunciado fornece o campo elétrico instantâneo que viaja ao longo do eixo
no vácuo:
com
real e
.
As perguntas são:
a) escrever a expressão do campo elétrico espacial complexo (o fasor espacial);
c) determinar o vetor de Poynting médio no tempo (densidade de potência média);
d) encontrar o campo magnético espacial complexo .
Dados relevantes: direção do campo elétrico é , o meio é o vácuo com
e impedância intrínseca
.
As perguntas são:
a) escrever a expressão do campo elétrico espacial complexo
c) determinar o vetor de Poynting médio no tempo
d) encontrar o campo magnético espacial complexo
Dados relevantes: direção do campo elétrico é
Passo 2
Primeiro simplificamos a forma temporal: use a identidade trigonométrica
. Portanto
Aqui vou introduzir o conceito de fasor (representação complexa): para campos harmônicos no tempo, é comum escrever o campo instantâneo como a parte real de um fasor multiplicado por
, isto é
A tarefa (a) pede justamente
: precisamos escolher um
complexo tal que
. Uma escolha direta é
porque verificando:
que recupera exatamente o campo instantâneo dado. Portanto a resposta do item (a) é essa.
Passo 3
Agora vamos achar o campo magnético complexo
(item d). Para uma onda plana no vácuo que se propaga na direção
com
ao longo de
, o campo
é ortogonal a
e satisfaz a relação de impedância intrínseca. Duas formas de obter
:
- Relação física simples: a amplitude de
é e a direção é (para que , direção da propagação). Logo
- Se preferir ver via equações de Maxwell (phasor):
. Para temos
Então
Como
segue
, dando o mesmo resultado
Essa é a resposta do item (d). (Respire, estamos quase lá — boa energia!)
Passo 4
Agora calculamos o vetor de Poynting médio no tempo (item c). A fórmula para campos fasoriais é
onde
indica conjugado complexo. Substituindo os fasores encontrados:
Fazendo o produto vetorial:
Note que os exponenciais se cancelam (onde a dependência espacial de fase some no produto). Tomando a parte real e multiplicando por
,
Interpretação: fluxo de potência médio aponta para
(propagação da onda) e sua magnitude é
. Para referência,
, então a magnitude numérica seria
em unidades SI (W/m²) se
estiver em V/m.
Resposta
a)
c)
, com
d)