Se theta é um arco do 4^circ quadrante tal que cos theta= 45. Determine o valor de raiz2 sec theta+3 tg theta.

Passo 1

O exercício pede para calcular raiz2sectheta + 3tantheta sabendo que theta está no quarto quadrante e costheta = tfrac45. Vamos usar identidade pitagórica e definições de secante e tangente.

Passo 2

Precisamos encontrar sintheta. Como theta está no quarto quadrante, sintheta é negativo. Usando a identidade sin^2theta + cos^2theta = 1:
sintheta = -raiz1 - cos^2theta = -raiz1 - l(tfrac45r)^2 = -tfrac35

Passo 3

Agora calculamos sectheta e tantheta a partir de costheta e sintheta:
sectheta = 1costheta = 54, tantheta = sinthetacostheta = -34

Passo 4

Substituímos em 2sectheta + 3tantheta e simplificamos:
2sectheta + 3tantheta = 2cdot54 + 3cdotl(-34r) = 10 - 94 = 14

Passo 5

Por fim, extraímos a raiz quadrada (pegando o valor positivo):
raiz2sectheta + 3tantheta = raiztfrac14 = tfrac12

Resposta

tfrac12

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