Se
, determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções trigonométricas inversas, especificamente o seno inverso (
arcsen
) e o cosseno inverso (arccos
). Precisamos calcular o valor de tg(2θ)
onde θ é a soma de arcsen(1/2)
e arccos(-1/2)
. Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas e propriedades das funções inversas.Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores de
arcsen(1/2)
e arccos(-1/2)
. Sabemos que:porque o seno de
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
arccos(-1/2)
. Sabemos que:porque o cosseno de
é
.
Passo 4
Com esses valores, podemos encontrar θ:
Para somar as frações, precisamos do mesmo denominador:
Então,
.
Passo 5
Agora, queremos encontrar :
tg(2θ)
. Primeiro, vamos calcular
Passo 6
Sabemos que a tangente de um ângulo pode ser encontrada usando a circunferência trigonométrica. O ângulo
está no quarto quadrante, onde a tangente é positiva. No entanto, ao simplificar:
E sabemos que:
Passo 7
Portanto: