Se theta=arcsen(12)+arccos (-12), determine
tg(2 theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções trigonométricas inversas, especificamente o seno inverso (arcsen) e o cosseno inverso (arccos). Precisamos calcular o valor de tg(2θ) onde θ é a soma de arcsen(1/2) e arccos(-1/2). Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas e propriedades das funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de arcsen(1/2) e arccos(-1/2). Sabemos que:
porque o seno de arcsen(12) = pi6 é pi6.

Passo 3

Agora, vamos calcular arccos(-1/2). Sabemos que:
arccos(-12) = 2pi3
porque o cosseno de 2pi3 é -12.

Passo 4

Com esses valores, podemos encontrar θ:
Para somar as frações, precisamos do mesmo denominador:
theta = arcsen(12) + arccos(-12) = pi6 + 2pi3
Então, pi6 + 4pi6 = 5pi6 .

Passo 5

Agora, queremos encontrar tg(2θ). Primeiro, vamos calcular 2theta:
2theta = 2 times 5pi6 = 10pi6 = 5pi3

Passo 6

Sabemos que a tangente de um ângulo pode ser encontrada usando a circunferência trigonométrica. O ângulo 5pi3 está no quarto quadrante, onde a tangente é positiva. No entanto, ao simplificar:
tan(5pi3) = tan(5pi3 - 2pi) = tan(-pi3) = -tan(pi3)
E sabemos que:
tan(pi3) = raiz3

Passo 7

Portanto:
tan(2theta) = -raiz3

Resposta

tan(2theta) = -raiz3

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