Se
, onde
, e
determine o módulo de
.
Passo 1
O enunciado dá uma função complexa f(z)=z^{1+i}, usando a definição de potência via logaritmo principal (com z=r e^{iθ}, r>0 e −π<θ≤π). Queremos achar o módulo de f′(1+i). Vamos usar a derivada de z^a e depois avaliar em z=1+i.
Passo 2
Para uma potência complexa z^a (com a fixo), vale a fórmula de derivação f(z)=z^a ⇒ f′(z)=a⋅z^{a−1}. Aqui a=1+i, então usamos f′(z)=(1+i)⋅z{(1+i)−1}=(1+i)⋅z{i}.
Passo 3
Substituindo z=1+i, obtemos f′(1+i)=(1+i)⋅(1+i)^i. Para encontrar o módulo, escrevemos o módulo como |f′(1+i)|=|1+i|⋅|(1+i)^i|. Sabemos que |1+i|=√2 e, usando Log principal de 1+i, Log(1+i)=ln√2 + iπ/4, obtemos (1+i)^i=exp(i·Log(1+i))=exp(i·(ln√2 + iπ/4))=exp(i ln√2 − π/4), cujo módulo é exp(−π/4).
Passo 4
Portanto |f′(1+i)|=√2⋅e^{−π/4}.