Se z=r e^i theta, onde r>0 e-pi, e
f(z)=z^1+i
determine o módulo de f^prime(1+i).

Passo 1

O enunciado dá uma função complexa f(z)=z^{1+i}, usando a definição de potência via logaritmo principal (com z=r e^{iθ}, r>0 e −π<θ≤π). Queremos achar o módulo de f′(1+i). Vamos usar a derivada de z^a e depois avaliar em z=1+i.

Passo 2

Para uma potência complexa z^a (com a fixo), vale a fórmula de derivação f(z)=z^a ⇒ f′(z)=a⋅z^{a−1}. Aqui a=1+i, então usamos f′(z)=(1+i)⋅z{(1+i)−1}=(1+i)⋅z{i}.

Passo 3

Substituindo z=1+i, obtemos f′(1+i)=(1+i)⋅(1+i)^i. Para encontrar o módulo, escrevemos o módulo como |f′(1+i)|=|1+i|⋅|(1+i)^i|. Sabemos que |1+i|=√2 e, usando Log principal de 1+i, Log(1+i)=ln√2 + iπ/4, obtemos (1+i)^i=exp(i·Log(1+i))=exp(i·(ln√2 + iπ/4))=exp(i ln√2 − π/4), cujo módulo é exp(−π/4).

Passo 4

Portanto |f′(1+i)|=√2⋅e^{−π/4}.

Resposta

raiz2e^-pi/4

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