Um time de futebol da capital paulista possui o que a crítica esportiva chama de quarteto mágico, formado por jogadores que indicaremos pelas letras \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{Ce} \mathrm{D}. Sabe-se que estes jogadores são responsáveis pela maioria dos gols do time nas seguintes porcentagens: A: 30 \%; B: 25 \%; C: 15 \% e D: 10 \% (sendo que o restante dos gols é feito por outros jogadores do time). Se consideramos os próximos três gols marcados pelo time, a maior probabilidade de ocorrer será
(a) O jogador B marcar três vezes
(b) Haver exatamente dois gols não marcados pelo quarteto mágico
(c) O jogador A marcar duas vezes e o jogador C uma vez
(d) Os jogadores A, B e D marcarem um gol cada
(e) Os jogadores A e C e outros marcarem um gol cada.

Passo 1

O enunciado diz que os jogadores A, B, C e D marcam, respectivamente, 30\%, 25\%, 15\% e 10\% dos gols, e que os demais jogadores marcam os 20\% restantes. Vamos considerar os próximos três gols como três ensaios independentes numa distribuição multinomial (ou binomial quando só interessam duas categorias).

Passo 2

(a) Probabilidade do jogador B marcar os três gols.
P(\text{B,B,B}) = (0,25)^3 = 0,015625.
(b) Probabilidade de exatamente dois gols não marcados pelo quarteto (ou seja, exatamente dois por “outros” e um por qualquer do quarteto).
P = \binom{3}{2}\,(0,2)^2\,(0,8)^1 = 3 \times 0,04 \times 0,8 = 0,096.

Passo 3

(c) Probabilidade de A marcar duas vezes e C uma vez. Aqui há 3!/ (2! 1!) =3 sequências possíveis:
P = 3 \times (0,3)^2 \times (0,15) = 3 \times 0,09 \times 0,15 = 0,0405.

Passo 4

(d) Probabilidade de A, B e D marcarem um gol cada. São 3! = 6 sequências:
P = 6 \times (0,3) \times (0,25) \times (0,1) = 6 \times 0,0075 = 0,045.

Passo 5

(e) Probabilidade de A, C e “outros” marcarem um gol cada. Também 3! = 6 sequências:
P = 6 \times (0,3) \times (0,15) \times (0,2) = 6 \times 0,009 = 0,054.

Passo 6

Comparando as cinco probabilidades:
  • (a) 0,015625
  • (b) 0,096
  • (c) 0,0405
  • (d) 0,045
  • (e) 0,054
A maior é a do item (b).

Resposta

(b) Haver exatamente dois gols não marcados pelo quarteto mágico.

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