Q3: Um time de futebol disputa um campeonato no qual os seus adversários são classificados como fortes, médios ou fracos, sendo que 10 \% deles sāo considerados fortes, 20 \% são considerados médios e 70 \% são considerados fracos. Sabe-se que a probabilidade do time vencer um adversário forte é de 30 \%, de vencer um adversário médio é de 40 \% e de vencer um adversário fraco é de 50 \%. Sabendo que o time venceu uma certa partida desse campeonato, usando o Teorema de Bayes, qual a probabilidade de que o adversário nessa partida tenha sido um time fraco?
(A) 56,09 \%
(B) 48,11 \%
(C) 98,37 \%
(D) 76,09 \%

Passo 1

O enunciado pede: “Sabendo que o time venceu uma certa partida, qual a probabilidade de que o adversário nessa partida tenha sido um time fraco?”
Informações dadas (peguei os percentuais do enunciado):
  • Probabilidades a priori dos tipos de adversário:
    • adversário forte: P(A_S)=10\%=0,10
    • adversário médio: P(A_M)=20\%=0,20
    • adversário fraco: P(A_F)=70\%=0,70
  • Probabilidades de o time vencer condicionadas ao tipo de adversário (likelihoods):
    • vencer contra forte: P(V\mid A_S)=30\%=0,30
    • vencer contra médio: P(V\mid A_M)=40\%=0,40
    • vencer contra fraco: P(V\mid A_F)=50\%=0,50
O objetivo é calcular P(A_F\mid V): a probabilidade do oponente ser fraco dado que o time venceu.

Passo 2

Apresentando o Teorema de Bayes e a ideia por trás dele (passo-a-passo didático):
  • P(A_F\mid V) significa “probabilidade do adversário ser fraco, sabendo que o time venceu”.
  • O Teorema de Bayes diz que
P(A_F\mid V)=\frac{P(V\mid A_F)\,P(A_F)}{P(V)}.
Aqui:
  • P(V\mid A_F) é a probabilidade de vencer se o adversário for fraco (já dada).
  • P(A_F) é a probabilidade a priori de enfrentar um fraco (já dada).
  • P(V) é a probabilidade total de vencer, que precisa ser obtida usando a Lei da Probabilidade Total, somando as contribuições de cada tipo de adversário:
P(V)=P(V\mid A_S)P(A_S)+P(V\mid A_M)P(A_M)+P(V\mid A_F)P(A_F).

Passo 3

Calcular P(V) pelo somatório (cada termo é “probabilidade do tipo de adversário” vezes “probabilidade de vitória nesse tipo”):
P(V)=0,30\cdot0,10 + 0,40\cdot0,20 + 0,50\cdot0,70.
Agora faço cada produto:
0,30\cdot0,10=0,03, \qquad 0,40\cdot0,20=0,08, \qquad 0,50\cdot0,70=0,35.
Somando:
P(V)=0,03+0,08+0,35=0,46.

Passo 4

Calcular o numerador da fórmula de Bayes e depois a razão:
\text{numerador}=P(V\mid A_F)P(A_F)=0,50\cdot0,70=0,35.
Aplicando Bayes:
P(A_F\mid V)=\frac{0,35}{0,46}=\frac{35}{46}\approx0,760869565\ldots
Convertendo para porcentagem e arredondando para duas casas decimais (como nas alternativas):
P(A_F\mid V)\approx76,09\%.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo: isso significa que, mesmo que 70\% dos adversários sejam fracos, depois de observar que o time venceu essa partida a chance de o adversário ter sido fraco sobe para cerca de 76{,}09\%. Muito bem — foi só aplicar a Lei da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes passo a passo!

Resposta

(D) 76,09\%

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