Q3: Um time de futebol disputa um campeonato no qual os seus adversários são classificados como fortes, médios ou fracos, sendo que
deles sāo considerados fortes,
são considerados médios e
são considerados fracos. Sabe-se que a probabilidade do time vencer um adversário forte é de
, de vencer um adversário médio é de
e de vencer um adversário fraco é de
. Sabendo que o time venceu uma certa partida desse campeonato, usando o Teorema de Bayes, qual a probabilidade de que o adversário nessa partida tenha sido um time fraco?
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado pede: “Sabendo que o time venceu uma certa partida, qual a probabilidade de que o adversário nessa partida tenha sido um time fraco?”
Informações dadas (peguei os percentuais do enunciado):
Informações dadas (peguei os percentuais do enunciado):
- Probabilidades a priori dos tipos de adversário:
- adversário forte:
- adversário médio:
- adversário fraco:
- adversário forte:
- Probabilidades de o time vencer condicionadas ao tipo de adversário (likelihoods):
- vencer contra forte:
- vencer contra médio:
- vencer contra fraco:
- vencer contra forte:
O objetivo é calcular
: a probabilidade do oponente ser fraco dado que o time venceu.
Passo 2
Apresentando o Teorema de Bayes e a ideia por trás dele (passo-a-passo didático):
-
significa “probabilidade do adversário ser fraco, sabendo que o time venceu”. - O Teorema de Bayes diz que
Aqui:
-
é a probabilidade de vencer se o adversário for fraco (já dada). -
é a probabilidade a priori de enfrentar um fraco (já dada). -
é a probabilidade total de vencer, que precisa ser obtida usando a Lei da Probabilidade Total, somando as contribuições de cada tipo de adversário:
Passo 3
Calcular
pelo somatório (cada termo é “probabilidade do tipo de adversário” vezes “probabilidade de vitória nesse tipo”):
Agora faço cada produto:
Somando:
Passo 4
Calcular o numerador da fórmula de Bayes e depois a razão:
Aplicando Bayes:
Convertendo para porcentagem e arredondando para duas casas decimais (como nas alternativas):
Passo 5
Interpretação curta e incentivo: isso significa que, mesmo que
dos adversários sejam fracos, depois de observar que o time venceu essa partida a chance de o adversário ter sido fraco sobe para cerca de
. Muito bem — foi só aplicar a Lei da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes passo a passo!
Resposta
(D)