Q2: Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f(x) e função de distribuição acumulada F(x). Analise as afirmações abaixo:
V I) P(a \leq X \leq b)=\int_{a}^{b} f(x) d x.
II) E[X]=\int_{0}^{\infty} x f(x) d x
III) f(x)=P(X=x)
IV) F(x)=P(X \leq x)
(A) I e II são verdadeiras
(B) IV, II e III são verdadeiras
(C6) I e IV sāo verdadeiras
(D) Todas sāo verdadeiras

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f(x) e função de distribuição acumulada F(x). Pede para analisar a veracidade das quatro afirmações I–IV e escolher a alternativa correta.
As quatro afirmações são:
  • I) P(a \leq X \leq b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
  • II) E[X]=\int_{0}^{\infty} x f(x)\,dx.
  • III) f(x)=P(X=x).
  • IV) F(x)=P(X \leq x).

Passo 2

Entender o que é a função densidade f e como ela dá probabilidades. Para uma variável contínua:
  • A função densidade f(x) satisfaz f(x)\ge 0 e \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
  • A probabilidade de X cair em um intervalo [a,b] é dada pela integral da densidade nesse intervalo. Formalmente,
P(a \le X \le b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx .
Observação prática: para variáveis contínuas, a probabilidade de um único ponto \{x\} é zero, então as desigualdades fechadas/abertas nos extremos não mudam o valor da probabilidade. Com isso, a afirmação I é correta.

Passo 3

Definição da função de distribuição acumulada (CDF) F. Por definição,
F(x)=P(X \le x).
Essa é exatamente a afirmativa IV. Assim, IV é verdadeira. Também é útil saber que, quando f existe e for razoável, F é derivável quase em todo lugar e F'(x)=f(x) quase sempre.

Passo 4

Analisando III: a densidade f(x) NÃO é a probabilidade pontual P(X=x). Para variável contínua,
P(X=x)=\int_{x}^{x} f(t)\,dt = 0.
Portanto f(x) é uma função tal que, quando integrada sobre um intervalo, dá uma probabilidade; mas f(x) sozinho não é uma probabilidade de ponto. Logo a afirmação III é falsa.

Passo 5

Analisando II: a definição geral da esperança (valor esperado) para variável contínua é
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\, f(x)\,dx,
ou seja, a integração deve ser feita sobre todo o suporte da variável. A fórmula dada em II,
E[X]=\int_{0}^{\infty} x\, f(x)\,dx,
é válida somente se soubermos que X é não negativa (isto é, P(X\ge 0)=1). Como o enunciado não afirma que X\ge 0, a expressão em II não é, em geral, correta. Exemplo rápido para fixar a ideia: para uma distribuição simétrica com média zero (como uma normal padrão), E[X]=0 mas \int_{0}^{\infty} x f(x)\,dx>0; portanto integrar só de 0 a \infty não dá, em geral, o E[X]. Assim II é falsa na hipótese geral.

Passo 6

Resumo das verdades:
  • I: verdadeira.
  • II: falsa (só vale se X\ge 0 quase certamente).
  • III: falsa (para contínua P(X=x)=0, f(x) é densidade, não probabilidade pontual).
  • IV: verdadeira.
Portanto as afirmações verdadeiras são I e IV.

Resposta

(C) I e IV são verdadeiras

Exercícios relacionados