Q2: Seja
uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade
e função de distribuição acumulada
. Analise as afirmações abaixo:
V I)
.
II)
III)
IV)
(A) I e II são verdadeiras
(B) IV, II e III são verdadeiras
(C6) I e IV sāo verdadeiras
(D) Todas sāo verdadeiras
V I)
II)
III)
IV)
(A) I e II são verdadeiras
(B) IV, II e III são verdadeiras
(C6) I e IV sāo verdadeiras
(D) Todas sāo verdadeiras
Passo 1
O enunciado dá que
é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade
e função de distribuição acumulada
. Pede para analisar a veracidade das quatro afirmações I–IV e escolher a alternativa correta.
As quatro afirmações são:
- I)
. - II)
. - III)
. - IV)
.
Passo 2
Entender o que é a função densidade
e como ela dá probabilidades. Para uma variável contínua:
- A função densidade
satisfaz e . - A probabilidade de
cair em um intervalo é dada pela integral da densidade nesse intervalo. Formalmente,
Observação prática: para variáveis contínuas, a probabilidade de um único ponto
é zero, então as desigualdades fechadas/abertas nos extremos não mudam o valor da probabilidade. Com isso, a afirmação I é correta.
Passo 3
Definição da função de distribuição acumulada (CDF)
. Por definição,
Essa é exatamente a afirmativa IV. Assim, IV é verdadeira. Também é útil saber que, quando
existe e for razoável,
é derivável quase em todo lugar e
quase sempre.
Passo 4
Analisando III: a densidade
NÃO é a probabilidade pontual
. Para variável contínua,
Portanto
é uma função tal que, quando integrada sobre um intervalo, dá uma probabilidade; mas
sozinho não é uma probabilidade de ponto. Logo a afirmação III é falsa.
Passo 5
Analisando II: a definição geral da esperança (valor esperado) para variável contínua é
ou seja, a integração deve ser feita sobre todo o suporte da variável. A fórmula dada em II,
é válida somente se soubermos que
é não negativa (isto é,
). Como o enunciado não afirma que
, a expressão em II não é, em geral, correta. Exemplo rápido para fixar a ideia: para uma distribuição simétrica com média zero (como uma normal padrão),
mas
; portanto integrar só de
a
não dá, em geral, o
. Assim II é falsa na hipótese geral.
Passo 6
Resumo das verdades:
- I: verdadeira.
- II: falsa (só vale se
quase certamente). - III: falsa (para contínua
, é densidade, não probabilidade pontual). - IV: verdadeira.
Portanto as afirmações verdadeiras são I e IV.
Resposta
(C) I e IV são verdadeiras