No setor de emergencia de um certo hospital, viu-se que em 70% dos casos é necessária alguma intervenção cirúrgica. Suponha que em dado dia foram registrados 48 casos. Usando a aproximação da binomial pela normal com correção de continuidade, determine a probabilidade do número de cirurgias ter sido menor ou igual a 31.
(A) 0,794
(B) 0,746
(C) 0,206
(D) 0,434
(E) 0,2

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, num dia com 48 casos, o número de cirurgias seja menor ou igual a 31. Informações dadas:
  • Número de ensaios: n = 48.
  • Probabilidade de “sucesso” (necessidade de cirurgia) em cada caso: p = 0,7.
  • Queremos calcular \Pr(X \le 31), onde X \sim \text{Binomial}(n,p).
    O enunciado pede explicitamente: usar a aproximação da binomial pela normal com correção de continuidade.

Passo 2

Relembrando as fórmulas para a binomial aproximada por normal: a distribuição binomial \,X\sim\text{Binomial}(n,p)\, pode ser aproximada por uma normal \,Y\sim N(\mu,\sigma^{2})\, com
\mu = np, \qquad \sigma^{2} = np(1-p).
Aqui, substituindo os valores dados:
\mu = 48\cdot 0,7 = 33,6,
\sigma^{2} = 48\cdot 0,7\cdot 0,3 = 10,08.
O desvio padrão fica
\sigma = \sqrt{10,08}\approx 3,175.
(Explicando: \mu é a média esperada do número de cirurgias; \sigma^{2} mede a variabilidade — quanto maior, mais espalhados os valores possíveis.)

Passo 3

Condição de validade da aproximação normal: regra prática exige np\ge 5 e n(1-p)\ge 5. Aqui
np = 33,6\ge 5,\qquad n(1-p)=48\cdot 0,3 = 14,4\ge 5,
logo a aproximação é razoável.

Passo 4

Explicando a correção de continuidade: a binomial é discreta; para aproximar \Pr(X\le 31) usa-se a normal com o ponto de corte em 31+\tfrac{1}{2}=31,5. Assim
\Pr(X\le 31) \approx \Pr\bigl(Y \le 31,5\bigr),
com Y\sim N(\mu,\sigma^{2}). A correção de continuidade melhora a aproximação ao ajustar o valor contínuo para englobar o inteiro 31.

Passo 5

Padronizando para a normal padrão Z\sim N(0,1):
\Pr\bigl(Y \le 31,5\bigr) = \Pr\!\left(Z \le \dfrac{31,5-\mu}{\sigma}\right) = \Pr\!\left(Z \le \dfrac{31,5-33,6}{3,175}\right).
Calculemos o numerador:
31,5-33,6 = -2,1.
Portanto
z = \dfrac{-2,1}{3,175}\approx -0,661.

Passo 6

Agora usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para \Phi(z)=\Pr(Z\le z).
Primeiro usamos a simetria: \Phi(-0,661)=1-\Phi(0,661).
Valores tabelados aproximados: \Phi(0,66)\approx 0,7454 e \Phi(0,67)\approx 0,7486. Interpolando para 0,661 obtemos cerca de 0,7457. Logo
\Pr(X\le 31)\approx \Phi(-0,661)\approx 1-0,7457 = 0,2543.
Interpretação simples: cerca de 25{,}4\% de chance de ter no máximo 31 cirurgias nesse dia, segundo a aproximação normal com correção de continuidade.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas: nenhuma das alternativas lista 0,254 exatamente. A alternativa mais próxima numericamente é a (C) 0,206 (diferença absoluta \approx 0,048). Observação: se alguém omitisse a correção de continuidade e usasse 31 em vez de 31,5, teria z\approx -0,819 e \Pr\approx 0,206, o que explica por que (C) aparece entre as opções. Mas seguindo precisamente o que foi pedido (com correção), o valor aproximado é 0,254.

Resposta

(C) 0,206

Exercícios relacionados