No setor de emergencia de um certo hospital, viu-se que em 70% dos casos é necessária alguma intervenção cirúrgica. Suponha que em dado dia foram registrados 48 casos. Usando a aproximação da binomial pela normal com correção de continuidade, determine a probabilidade do número de cirurgias ter sido menor ou igual a 31.
(A) 0,794
(B) 0,746
(C) 0,206
(D) 0,434
(E) 0,2
(A) 0,794
(B) 0,746
(C) 0,206
(D) 0,434
(E) 0,2
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, num dia com
casos, o número de cirurgias seja menor ou igual a
. Informações dadas:
- Número de ensaios:
. - Probabilidade de “sucesso” (necessidade de cirurgia) em cada caso:
. - Queremos calcular
, onde .
O enunciado pede explicitamente: usar a aproximação da binomial pela normal com correção de continuidade.
Passo 2
Relembrando as fórmulas para a binomial aproximada por normal: a distribuição binomial
pode ser aproximada por uma normal
com
Aqui, substituindo os valores dados:
O desvio padrão fica
(Explicando:
é a média esperada do número de cirurgias;
mede a variabilidade — quanto maior, mais espalhados os valores possíveis.)
Passo 3
Condição de validade da aproximação normal: regra prática exige
e
. Aqui
logo a aproximação é razoável.
Passo 4
Explicando a correção de continuidade: a binomial é discreta; para aproximar
usa-se a normal com o ponto de corte em
. Assim
com
. A correção de continuidade melhora a aproximação ao ajustar o valor contínuo para englobar o inteiro
.
Passo 5
Padronizando para a normal padrão
:
Calculemos o numerador:
Portanto
Passo 6
Agora usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para
.
Primeiro usamos a simetria: .
Valores tabelados aproximados: e
. Interpolando para
obtemos cerca de
. Logo
Primeiro usamos a simetria:
Valores tabelados aproximados:
Interpretação simples: cerca de
de chance de ter no máximo
cirurgias nesse dia, segundo a aproximação normal com correção de continuidade.
Passo 7
Comparando com as alternativas fornecidas: nenhuma das alternativas lista
exatamente. A alternativa mais próxima numericamente é a (C)
(diferença absoluta
). Observação: se alguém omitisse a correção de continuidade e usasse
em vez de
, teria
e
, o que explica por que (C) aparece entre as opções. Mas seguindo precisamente o que foi pedido (com correção), o valor aproximado é
.
Resposta
(C) 0,206