Um time X tem 1 / 3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar 3 partidas, calcule a probabilidade de:
(a) X vencer exatamente 2 partidas;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um time, o X, que ganha com probabilidade de 13 sempre que joga. Ele vai jogar 3 partidas, e a gente quer descobrir qual é a chance dele ganhar exatamente 2 dessas partidas. Para resolver isso, vamos usar a Probabilidade Binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas (neste caso, 3 jogos), cada tentativa tem dois resultados possíveis (ganhar ou não ganhar), e a probabilidade de vitória é sempre a mesma.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula da Probabilidade Binomial:
P(k; n, p) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Aqui:
  • n é o número total de tentativas (3 jogos).
  • k é o número de sucessos desejados (2 vitórias).
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa ( 13).
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 3

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial: binom32 = 3. Isso significa que há 3 maneiras diferentes de ganhar 2 partidas em 3 jogos.
  2. Probabilidade de ganhar exatamente 2 partidas: (13)^2 = 19.
  3. Probabilidade de perder a outra partida: (1 - 13)^3 - 2 = (23)^1 = 23.

Passo 4

Agora, juntando tudo na fórmula:
P(2; 3, 13) = 3 times 19 times 23
Vamos multiplicar:
3 times 19 = 39 = 13
E depois:
13 times 23 = 29

Resposta

A probabilidade de o time X vencer exatamente 2 das 3 partidas é 29, ou aproximadamente 22,22%.

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