Q5: A_{3 \times 3} é tal que Núcleo A=\operatorname{span}\{(1,3,0),(3,0,-3)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(-3,1,1)\}. Se a_{23}=-9, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a_{11} :
(A) 26
(B) 27
(C) 28
(D) 29
(E) 30
(F) 31
(G) 32
(H) 33

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de tamanho 3\times3 e informa:
\text{Núcleo }A=\operatorname{span}\{(1,3,0),(3,0,-3)\}ú
e
\text{Imagem }A=\operatorname{span}\{(-3,1,1)\}.
Além disso é dada a entrada a_{23}=-9 (ou seja, elemento da linha 2, coluna 3 de A vale -9). A pergunta: qual é o valor de a_{11}? As informações relevantes que temos são os geradores do núcleo (dois vetores) e o gerador da imagem (um vetor), e uma entrada específica da matriz.

Passo 2

Vou deduzir informações sobre posto e nulidade. Pelo enunciado o núcleo é gerado por dois vetores linearmente independentes (assuma que são independentes, pois o enunciado foi bem formulado). Logo a dimensão do núcleo (nulidade) é 2. Pela relação do Teorema do Núcleo e Imagem (teorema posto–nulidade) para uma matriz 3\times3,
\dim(\text{Núcleo})+\dim(\text{Imagem})=3.ú
Como \dim(\text{Núcleo})=2ú, segue \dim(\text{Imagem})=1, ou seja, A tem posto 1. Isso confirma que a imagem indicada por um único gerador (-3,1,1) é consistente.

Passo 3

Explicar um formato prático para matrizes de posto 1. Qualquer matriz 3\times3 de posto 1 pode ser escrita como produto externo de um vetor coluna v\in\mathbb{R}^3 (um gerador da imagem) por um vetor linha w^{T}\in\mathbb{R}^{1\times3}:
A = v\,w^{T}.
Aqui v pode ser escolhido como o gerador da imagem (vetor não nulo na imagem) e w é algum vetor cujo produto com v cria a matriz. Para esse formato, para todo x\in\mathbb{R}^3 vale
A x = v\,(w^{T}x).
Logo o núcleo de A é exatamente o conjunto \{x: w^{T}x=0\}, isto é, o ortogonal de w. Portanto devemos escolher v igual a um múltiplo do gerador da imagem e w tal que seu ortogonal seja o subespaço gerado pelos vetores do núcleo.

Passo 4

Escolher v\) como o gerador da imagem dado. Tomemos \[v = \begin{pmatrix}-3\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Agora determine w=(w_1,w_2,w_3) de modo que w^{T}x=0 para todo x no núcleo gerado por (1,3,0) e (3,0,-3). Isso equivale a exigir w ortogonal a esses dois vetores, portanto:
\begin{cases} w_1 + 3w_2 + 0\cdot w_3 = 0,\\[4pt] 3w_1 + 0\cdot w_2 -3w_3 = 0. \end{cases}
Simplificando:
\begin{cases} w_1 + 3w_2 = 0,\\[4pt] 3w_1 -3w_3 = 0. \end{cases}
Da primeira equação w_1 = -3 w_2\]. Da segunda \(w_1 = w_3. Combinando, obtemos
w_1 = w_3 \quad\text{e}\quad w_1 = -3 w_2.
Logo w é proporcional ao vetor (-3,1,-3). Podemos escrever w = t\cdot(-3,1,-3) para algum escalar t\neq 0.]

Passo 5

Agora usamos a informação da entrada a_{23}=-9. Na representação A=v w^{T}, a entrada a_{ij}=v_i w_j. Em particular,
a_{23}=v_2 w_3.
Temos v_2=1 (segunda componente de v), então a_{23}=1\cdot w_3 = w_3. Pela condição do enunciado a_{23}=-9, então
w_3 = -9.
Mas w_3 = t\cdot(-3). Logo
t\cdot(-3) = -9 \implies t = 3.
Portanto
w = 3\cdot(-3,1,-3) = (-9,3,-9).

Passo 6

Agora construímos a matriz A pela fórmula A=v w^{T}. Vamos só usar o que precisamos: a entrada a_{11} é
a_{11} = v_1 w_1.
Sabendo v_1=-3 e w_1=-9, calculamos
a_{11} = (-3)\cdot(-9) = 27.

Resposta

27

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