Q5:
é tal que Núcleo
e Imagem
. Se
, calcule a matriz
. Assinale abaixo o valor da entrada
:
(A) 26
(B) 27
(C) 28
(D) 29
(E) 30
(F) 31
(G) 32
(H) 33
(A) 26
(B) 27
(C) 28
(D) 29
(E) 30
(F) 31
(G) 32
(H) 33
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de tamanho
e informa:
e
Além disso é dada a entrada
(ou seja, elemento da linha
, coluna
de
vale
). A pergunta: qual é o valor de
? As informações relevantes que temos são os geradores do núcleo (dois vetores) e o gerador da imagem (um vetor), e uma entrada específica da matriz.
Passo 2
Vou deduzir informações sobre posto e nulidade. Pelo enunciado o núcleo é gerado por dois vetores linearmente independentes (assuma que são independentes, pois o enunciado foi bem formulado). Logo a dimensão do núcleo (nulidade) é
. Pela relação do Teorema do Núcleo e Imagem (teorema posto–nulidade) para uma matriz
,
Como
, segue
, ou seja,
tem posto
. Isso confirma que a imagem indicada por um único gerador
é consistente.
Passo 3
Explicar um formato prático para matrizes de posto
. Qualquer matriz
de posto
pode ser escrita como produto externo de um vetor coluna
(um gerador da imagem) por um vetor linha
:
Aqui
pode ser escolhido como o gerador da imagem (vetor não nulo na imagem) e
é algum vetor cujo produto com
cria a matriz. Para esse formato, para todo
vale
Logo o núcleo de
é exatamente o conjunto
, isto é, o ortogonal de
. Portanto devemos escolher
igual a um múltiplo do gerador da imagem e
tal que seu ortogonal seja o subespaço gerado pelos vetores do núcleo.
Passo 4
Escolher
Agora determine
de modo que
para todo
no núcleo gerado por
e
. Isso equivale a exigir
ortogonal a esses dois vetores, portanto:
Simplificando:
Da primeira equação
. Combinando, obtemos
Logo
é proporcional ao vetor
. Podemos escrever
para algum escalar
.]
Passo 5
Agora usamos a informação da entrada
. Na representação
, a entrada
. Em particular,
Temos
(segunda componente de
), então
. Pela condição do enunciado
, então
Mas
. Logo
Portanto
Passo 6
Agora construímos a matriz
pela fórmula
. Vamos só usar o que precisamos: a entrada
é
Sabendo
e
, calculamos
Resposta
27