Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}\right.,
\left.-2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}, \quad 2 x_{1}+8 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\bigl(x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4},\,-2x_{1}+x_{2}+3x_{3}+3x_{4},\,2x_{1}+8x_{2}+x_{3}-2x_{4}\bigr).
A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de T? Foram oferecidas as alternativas:
(A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4.

Passo 2

Primeiro vamos listar explicitamente as informações relevantes que o enunciado deu:
T(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})= \begin{pmatrix} x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}\\[4pt] -2x_{1}+x_{2}+3x_{3}+3x_{4}\\[4pt] 2x_{1}+8x_{2}+x_{3}-2x_{4} \end{pmatrix}.
Isto nos dá uma matriz A (representação de T na base canônica) de dimensão 3\times4, cujas colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3),T(e_4). A dimensão da imagem de T é exatamente o posto (rank) dessa matriz A. Vamos construir A.]

Passo 3

Construção da matriz A: aplicar T aos vetores canônicos.
T(1,0,0,0)=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 2\end{pmatrix},\quad T(0,1,0,0)=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 8\end{pmatrix},\quad T(0,0,1,0)=\begin{pmatrix}-1\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix},\quad T(0,0,0,1)=\begin{pmatrix}-1\\\ 3\\\ -2\end{pmatrix}.
Logo a matriz A é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1\\[4pt] -2 & 1 & 3 & 3\\[4pt] 2 & 8 & 1 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Breve aula: o que é posto (rank) e por que ele dá a dimensão da imagem.
  • A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A.
  • A dimensão da imagem é o número máximo de colunas linearmente independentes, que é o posto de A.
  • Para encontrar o posto, fazemos eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) para descobrir quantas linhas não-nulas/pivôs existem. Cada pivô corresponde a uma dimensão independente.
Agora vamos aplicar eliminação por linhas em A, explicando cada passo.

Passo 5

Matriz inicial:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1\\[4pt] -2 & 1 & 3 & 3\\[4pt] 2 & 8 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Queremos zerar as entradas abaixo do primeiro pivô (na primeira coluna). Usamos operações do tipo R_i \leftarrow R_i + k R_1, que não mudam o espaço de linhas nem o posto.
Fazemos R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
Cálculo para R_2:
(-2)+2\cdot1=0,\quad 1+2\cdot1=3,\quad 3+2\cdot(-1)=1,\quad 3+2\cdot(-1)=1.
Cálculo para R_3:
2-2\cdot1=0,\quad 8-2\cdot1=6,\quad 1-2\cdot(-1)=3,\quad -2-2\cdot(-1)=0.
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 6 & 3 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora vamos zerar a entrada em R_3 na coluna do segundo pivô usando R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.
Cálculos:
0-2\cdot0=0,\quad 6-2\cdot3=0,\quad 3-2\cdot1=1,\quad 0-2\cdot1=-2.
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Observação sobre pivôs: agora temos na forma escalonada três linhas não nulas, com pivôs nas colunas 1, 2 e 3 (os elementos não nulos na diagonal escalonada). Não precisamos normalizar os pivôs para contar o posto; basta notar quantas linhas/pivôs não nulos existem.
Portanto o número de pivôs é 3. Isso significa que as colunas de A geram um subespaço de dimensão 3 em \mathbb{R}^{3}. Em outras palavras, o posto de A (a dimensão da imagem de T) é 3.

Passo 8

Conclusão e correspondência com as alternativas: o valor 3 corresponde à alternativa (D). Força aí — já era!

Resposta

(D) 3

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