Isto nos dá uma matriz A (representação de T na base canônica) de dimensão 3\times4, cujas colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3),T(e_4). A dimensão da imagem de T é exatamente o posto (rank) dessa matriz A. Vamos construir A.]
Passo 3
Construção da matriz A: aplicar T aos vetores canônicos.
Breve aula: o que é posto (rank) e por que ele dá a dimensão da imagem.
A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A.
A dimensão da imagem é o número máximo de colunas linearmente independentes, que é o posto de A.
Para encontrar o posto, fazemos eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) para descobrir quantas linhas não-nulas/pivôs existem. Cada pivô corresponde a uma dimensão independente.
Agora vamos aplicar eliminação por linhas em A, explicando cada passo.
Queremos zerar as entradas abaixo do primeiro pivô (na primeira coluna). Usamos operações do tipo R_i \leftarrow R_i + k R_1, que não mudam o espaço de linhas nem o posto.
Observação sobre pivôs: agora temos na forma escalonada três linhas não nulas, com pivôs nas colunas 1, 2 e 3 (os elementos não nulos na diagonal escalonada). Não precisamos normalizar os pivôs para contar o posto; basta notar quantas linhas/pivôs não nulos existem.
Portanto o número de pivôs é 3. Isso significa que as colunas de A geram um subespaço de dimensão 3 em \mathbb{R}^{3}. Em outras palavras, o posto de A (a dimensão da imagem de T) é 3.
Passo 8
Conclusão e correspondência com as alternativas: o valor 3 corresponde à alternativa (D). Força aí — já era!