[TIPO B] Para uma densidade volumétrica de, rho=-1,3 times 10^-3 C / m^3, qual é a diferença de potencial elétrico entre o eixo central do cano e a parede interna?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma densidade volumétrica de carga, que é rho = -1,3 times 10^-3 , C/m^3. A pergunta quer saber qual é a diferença de potencial elétrico entre o eixo central de um cano (imagine um tubo) e a parede interna desse cano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico, aplicando a Lei de Gauss para achar o campo elétrico dentro do cano e depois integrar esse campo para encontrar a diferença de potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico dentro do cano usando a Lei de Gauss. Como a distribuição de carga é simétrica e uniforme, podemos considerar uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L, onde r é a distância do eixo central até um ponto dentro do cano.
A Lei de Gauss diz que:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Aqui, Qinterno é a carga dentro da superfície gaussiana e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.
A carga interna é:
Qinterno = rho cdot Volume = rho cdot pi r^2 L
Como o campo elétrico E é radial e uniforme na superfície gaussiana, a integral fica:
E cdot 2pi r L = rho pi r^2 Lvarepsilon0
Resolvendo para E:
E = rho r2 varepsilon0

Passo 3

Agora que temos o campo elétrico E(r) = rho r2 varepsilon0, vamos encontrar a diferença de potencial V entre o eixo central ( r=0) e a parede interna do cano ( r=R).
A diferença de potencial é a integral negativa do campo elétrico:
V = -integral0^R E(r) , dr
Substituindo E(r):
V = -integral0^R rho r2 varepsilon0 , dr
Integrando:
V = -rho2 varepsilon0 cdot [ r^22 ]0^R = -rho R^24 varepsilon0
Como a densidade de carga é negativa, o sinal negativo indica que o potencial diminui ao ir do eixo para a parede.

Resposta

A diferença de potencial elétrico entre o eixo central do cano e a parede interna é:
V = 1,3 times 10^-3 , C/m^3 cdot R^24 varepsilon0

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