[TIPO B] Para uma densidade volumétrica de,
, qual é a diferença de potencial elétrico entre o eixo central do cano e a parede interna?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma densidade volumétrica de carga, que é
. A pergunta quer saber qual é a diferença de potencial elétrico entre o eixo central de um cano (imagine um tubo) e a parede interna desse cano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico, aplicando a Lei de Gauss para achar o campo elétrico dentro do cano e depois integrar esse campo para encontrar a diferença de potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico dentro do cano usando a Lei de Gauss. Como a distribuição de carga é simétrica e uniforme, podemos considerar uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento
, onde
é a distância do eixo central até um ponto dentro do cano.
A Lei de Gauss diz que:
Aqui,
é a carga dentro da superfície gaussiana e
é a permissividade do vácuo.
A carga interna é:
Como o campo elétrico
é radial e uniforme na superfície gaussiana, a integral fica:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora que temos o campo elétrico
, vamos encontrar a diferença de potencial
entre o eixo central (
) e a parede interna do cano (
).
A diferença de potencial é a integral negativa do campo elétrico:
Substituindo
:
Integrando:
Como a densidade de carga é negativa, o sinal negativo indica que o potencial diminui ao ir do eixo para a parede.
Resposta
A diferença de potencial elétrico entre o eixo central do cano e a parede interna é: