• Calcule a frequência e o período de um pêndulo simples de 1 m de comprimento em um local onde \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular o período e a frequência de um pêndulo simples.
Informações fornecidas pelo enunciado:
L=1\\ \mathrm{m} (comprimento do pêndulo)
g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} (aceleração da gravidade no local)
Perguntas explícitas: encontrar o período T e a frequência f.

Passo 2

Antes de calcular, vamos entender a relação que liga período, frequência, comprimento e gravidade — devagarinho, sem pânico. Para pequenas oscilações o movimento do pêndulo é aproximado por uma oscilação harmônica simples; a equação de movimento angular (sem demonstrar forças detalhadamente) pode ser escrita como
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0.
Aqui \theta(t) é o ângulo do fio em função do tempo e \ddot{\theta} é a segunda derivada de \theta em relação ao tempo (a aceleração angular). A aproximação de pequenas oscilações consiste em usar \sin\theta \approx \theta (válida quando \theta é pequeno, em radianos). Com isso a equação lineariza para
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0,
que é exatamente a equação de um oscilador harmônico simples. A solução desse tipo de equação é uma oscilação com frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}.
O período T (tempo de uma oscilação completa) está ligado à frequência angular por
T = \frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega obtemos a fórmula prática que usaremos:
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Expliquei isso porque na prova costuma cair a necessidade de justificar de onde vem a fórmula — agora já sabe: é da aproximação de pequenas oscilações que transforma a equação em harmônica simples.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com os valores dados. Primeiro calculamos a razão L/g:
\frac{L}{g}=\frac{1}{9,8}=0,102040816\ldots
Em seguida tomamos a raiz quadrada:
\sqrt{\frac{L}{g}}=\sqrt{0,102040816\ldots}=0,319438282\ldots
Finalmente usamos T=2\pi\sqrt{L/g}. Vamos multiplicar:
T=2\pi\cdot 0,319438282\ldots
Como 2\pi\approx 6,283185307, temos
T \approx 6,283185307\times 0,319438282\ldots \approx 2,00709\\ \mathrm{s}.
Arredondando para um número razoável de casas significativas (duas ou três casas decimais) podemos usar T\approx 2,01\\ \mathrm{s} ou manter T\approx 2,007\\ \mathrm{s}. Vou conservar três casas significativas úteis: T\approx 2,007\\ \mathrm{s}.

Passo 4

A frequência (número de oscilações por segundo) é o recíproco do período:
f=\frac{1}{T}.
Usando T\approx 2,00709\\ \mathrm{s},
f\approx\frac{1}{2,00709}\approx 0,49823\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando para três algarismos significativos: f\approx 0,498\\ \mathrm{Hz}. Em linguagem de prova, muitas vezes aceitam f\approx 0,50\\ \mathrm{Hz} se pedirem apenas duas casas.

Passo 5

Resumo do raciocínio para a prova (dica de amigo): memorize a fórmula
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
saiba justificar rapidamente com a aproximação \sin\theta\approx\theta para pequenas oscilações e calcule f=1/T. Para L=1\\ \mathrm{m} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} os valores numéricos são os que acabamos de calcular.

Resposta

T\approx 2,007\\ \mathrm{s}
f\approx 0,498\\ \mathrm{Hz}

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