Em cada um dos Problemas:
a) Mostre que a equação dada é homogênea.
b) Resolva a equação diferencial.
c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?"
I)
II)
III)
IV)
a) Mostre que a equação dada é homogênea.
b) Resolva a equação diferencial.
c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?"
I)
II)
III)
IV)
Passo 1
O enunciado pede, para cada uma das quatro equações diferenciais dadas, que façamos três coisas:
a) Mostrar que a equação é homogênea (ou seja, verificar a propriedade de homogeneidade e indicar o grau);
b) Resolver a equação diferencial (achar a família geral de soluções);
c) Desenhar/interpretar o campo de direções e algumas curvas integrais e responder se essas curvas são simétricas em relação à origem.
a) Mostrar que a equação é homogênea (ou seja, verificar a propriedade de homogeneidade e indicar o grau);
b) Resolver a equação diferencial (achar a família geral de soluções);
c) Desenhar/interpretar o campo de direções e algumas curvas integrais e responder se essas curvas são simétricas em relação à origem.
As equações dadas são:
I)
II)
III)
IV)
I)
II)
III)
IV)
Anotei todas as equações e o que cada item (a,b,c) pede. Nos passos seguintes eu vou, para cada equação, mostrar a homogeneidade, resolver passo a passo e explicar como esboçar o campo de direções e as curvas integrais, verificando a simetria em relação à origem.
Passo 2
I — Verificação de homogeneidade (parte a).
Uma função é homogênea de grau
se, para todo
,
Uma função
Aqui a razão do lado direito é
Substituindo
,
,
Logo
, isto é,
é homogênea de grau
. Portanto a equação é homogênea.
Passo 3
I — Resolução (parte b). Método: substituir
(substituição padrão para funções homogêneas de grau
).
Defina . Então
e
Defina
A equação original é
Expressando o lado direito em
:
Portanto
Separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
onde
é constante de integração. Voltando a
:
Assim a família geral de soluções é
Passo 4
I — Campo de direções, curvas integrais e simetria (parte c).
- Como o membro direito depende só da razão
(isto é, ), as inclinações são constantes ao longo de cada semirreta que sai da origem: pontos com mesma têm a mesma inclinação. Isso facilita o esboço: em cada raio com inclinação a inclinação da seta é . - Exemplos numéricos rápidos (tirados da expressão
): - Para
(eixo ), a inclinação é . - Para
(reta ), a inclinação é . - Para
(reta ), a inclinação é . - Para
, inclinação (muito íngreme).
- Para
- Simetria: verifique
. Usando a expressão original já vimos que é de grau , logo
Dado isso, se
é solução então
também é solução (prova padrão mostrada no desenvolvimento). Isso implica que as curvas integrais são simétricas em relação à origem (simetria central).
Passo 5
II — Verificação de homogeneidade (parte a).
A função
A função
satisfaz, para
,
Portanto
é homogênea de grau
e a equação é homogênea.
Passo 6
II — Resolução (parte b). Substituição
Subtraindo
:
Calcule o lado direito com denominador comum
:
Fatorando o numerador:
Logo
Separamos variáveis:
Fazemos frações parciais em
. Procuramos
tais que
Multiplicando pelos denominadores:
Comparando coeficientes:
Solução:
.
Assim
Integramos:
Multiplicando por
e reagrupando:
Exponenciando:
Substituindo
e simplificando (fazendo as potências de
cancelarem):
onde
é constante geral (já absorvemos sinais/valores absolutos no
). Esta é a solução implícita geral. Podemos também escrever
Passo 7
II — Campo de direções e simetria (parte c).
- O campo de direções depende apenas de
(grau ), logo inclinações constantes ao longo de cada semirreta. Para esboçar: em cada direção atribui-se inclinação . - Exemplos numéricos:
-
(eixo ): inclinação . -
: inclinação . -
dá denominação zero (vertical), isso indica que na reta as tangentes são verticais (problema singular da expressão).
-
- Simetria: como
(grau ), as curvas integrais são simétricas em relação à origem (se é solução então também é solução). Portanto simetria central: sim.
Passo 8
III — Verificação de homogeneidade (parte a).
A função
A função
satisfaz
Logo é homogênea de grau
. A equação é homogênea.
Passo 9
III — Resolução (parte b). Substituição
.
Com temos
. A equação dá
Com
Isolando
:
Colocando sobre denominador comum
:
Separamos variáveis:
Para integrar o lado esquerdo, use substituição
,
. Então
Isto iguala a
, então
Exponenciando:
Substituindo
e multiplicando por
para escrever de forma polinomial,
Essa é a família implícita de soluções (constante
arbitrária).
Passo 10
III — Campo de direções e simetria (parte c).
- O campo depende só de
, logo as inclinações são constantes em cada raio. Ex.: para a inclinação é ? Não — calcule: tem singularidade em (eixo ) indicando que para a expressão original tem denominação zero; na prática a equação define comportamento vertical próximo a (exceto em pontos onde a expressão faz sentido). Para outros : -
: . -
: tornam-se zeros/nós da expressão do numerador etc.
-
- Simetria: novamente
por homogeneidade de grau , logo as curvas integrais são simétricas em relação à origem (sim).
Passo 11
IV — Reescrita e verificação de homogeneidade (parte a).
A equação diferencial dada é
A equação diferencial dada é
Isto é equivalente a
Note que este membro direito é
que, substituindo
, satisfaz
. Logo homogênea de grau
. A equação é homogênea.
Passo 12
IV — Resolução (parte b). Substituição
.
Com obtemos
. A equação dá
Com
Isolando
:
Separamos variáveis:
Integral da esquerda:
(pois
). Assim
Reescrevendo em termos de
:
Assim podemos apresentar a solução em forma explícita (resolvendo para
):
onde
é constante de integração.
Passo 13
IV — Campo de direções e simetria (parte c).
- O campo de direções depende só de
, então novamente inclinações constantes ao longo de semirretas a partir da origem. A inclinação em termos de é . - Alguns valores para esboço:
-
: inclinação . -
: inclinação . -
: inclinação .
-
- Simetria:
(grau ), portanto as curvas integrais são simétricas em relação à origem (sim).
Resposta
I) homogênea de grau
. Solução:
. Simetria em relação à origem: sim.
II) homogênea de grau
. Solução implícita:
(ou
). Simetria em relação à origem: sim.
III) homogênea de grau
. Solução implícita:
. Simetria em relação à origem: sim.
IV) homogênea de grau
. Solução:
. Simetria em relação à origem: sim.