Em cada um dos Problemas:
a) Mostre que a equação dada é homogênea.
b) Resolva a equação diferencial.
c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?"
I) \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}
II) \frac{d y}{d x}=\frac{4 y-3 x}{2 x-y}
III) \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-3 y^{2}}{2 x y}
IV) \left(x^{2}+3 x y+y^{2}\right) d x-x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado pede, para cada uma das quatro equações diferenciais dadas, que façamos três coisas:
a) Mostrar que a equação é homogênea (ou seja, verificar a propriedade de homogeneidade e indicar o grau);
b) Resolver a equação diferencial (achar a família geral de soluções);
c) Desenhar/interpretar o campo de direções e algumas curvas integrais e responder se essas curvas são simétricas em relação à origem.
As equações dadas são:
I) \displaystyle \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}
II) \displaystyle \frac{d y}{d x}=\frac{4 y-3 x}{2 x-y}
III) \displaystyle \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-3 y^{2}}{2 x y}
IV) \displaystyle \left(x^{2}+3 x y+y^{2}\right) d x-x^{2} d y=0
Anotei todas as equações e o que cada item (a,b,c) pede. Nos passos seguintes eu vou, para cada equação, mostrar a homogeneidade, resolver passo a passo e explicar como esboçar o campo de direções e as curvas integrais, verificando a simetria em relação à origem.

Passo 2

I — Verificação de homogeneidade (parte a).
Uma função F(x,y) é homogênea de grau k se, para todo t\neq0,
F(t x,t y)=t^{k}F(x,y).
Aqui a razão do lado direito é
F(x,y)=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}.
Substituindo x\mapsto t x, y\mapsto t y,
F(t x,t y)=\frac{(t x)^{2}+(t x)(t y)+(t y)^{2}}{(t x)^{2}} =\frac{t^{2}\bigl(x^{2}+x y+y^{2}\bigr)}{t^{2}x^{2}} =\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}=F(x,y).
Logo F(t x,t y)=t^{0}F(x,y), isto é, F é homogênea de grau 0. Portanto a equação é homogênea.

Passo 3

I — Resolução (parte b). Método: substituir \displaystyle u=\frac{y}{x} (substituição padrão para funções homogêneas de grau 0).
Defina \displaystyle u=\frac{y}{x}. Então \displaystyle y= u x e
\frac{d y}{d x}=u + x\frac{d u}{d x}.
A equação original é
u + x\frac{d u}{d x}= \frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}.
Expressando o lado direito em u:
\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}=\frac{x^{2}+x(ux)+(ux)^{2}}{x^{2}} =1+u+u^{2}.
Portanto
u + x\frac{d u}{d x}=1+u+u^{2}\quad\Longrightarrow\quad x\frac{d u}{d x}=1+u^{2}.
Separamos as variáveis:
\frac{d u}{1+u^{2}}=\frac{d x}{x}.
Integrando ambos os lados:
\int\frac{d u}{1+u^{2}}=\int\frac{d x}{x} \quad\Longrightarrow\quad \arctan(u)=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Voltando a y:
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\ln|x|+C \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{x}=\tan\!\bigl(\ln|x|+C\bigr).
Assim a família geral de soluções é
y(x)=x\,\tan\!\bigl(\ln|x|+C\bigr).

Passo 4

I — Campo de direções, curvas integrais e simetria (parte c).
  • Como o membro direito depende só da razão u=y/x (isto é, F(x,y)=1+u+u^{2}), as inclinações são constantes ao longo de cada semirreta que sai da origem: pontos com mesma y/x têm a mesma inclinação. Isso facilita o esboço: em cada raio com inclinação u a inclinação da seta é 1+u+u^{2}.
  • Exemplos numéricos rápidos (tirados da expressão 1+u+u^{2}):
    • Para u=0 (eixo x), a inclinação é 1.
    • Para u=1 (reta y=x), a inclinação é 1+1+1=3.
    • Para u=-1 (reta y=-x), a inclinação é 1-1+1=1.
    • Para u=2, inclinação 1+2+4=7 (muito íngreme).
  • Simetria: verifique F(-x,-y)=F(x,y). Usando a expressão original já vimos que F é de grau 0, logo
F(-x,-y)=\frac{(-x)^{2}+(-x)(-y)+(-y)^{2}}{(-x)^{2}}=F(x,y).
Dado isso, se y(x) é solução então -y(-x) também é solução (prova padrão mostrada no desenvolvimento). Isso implica que as curvas integrais são simétricas em relação à origem (simetria central).

Passo 5

II — Verificação de homogeneidade (parte a).
A função
F(x,y)=\frac{4y-3x}{2x-y}
satisfaz, para t\neq0,
F(t x,t y)=\frac{4(t y)-3(t x)}{2(t x)-t y}=\frac{t(4y-3x)}{t(2x-y)}=\frac{4y-3x}{2x-y}=F(x,y).
Portanto F é homogênea de grau 0 e a equação é homogênea.

Passo 6

II — Resolução (parte b). Substituição \displaystyle u=\frac{y}{x}\). Com \(y=ux\) temos \(\displaystyle \frac{d y}{d x}=u+x\frac{d u}{d x}\). A equação dá \[u + x\frac{d u}{d x}=\frac{4u-3}{2-u}.
Subtraindo u:
x\frac{d u}{d x}=\frac{4u-3}{2-u}-u.
Calcule o lado direito com denominador comum 2-u:
\frac{4u-3 - u(2-u)}{2-u}=\frac{4u-3-2u+u^{2}}{2-u}=\frac{u^{2}+2u-3}{2-u}.
Fatorando o numerador:
u^{2}+2u-3=(u+3)(u-1).
Logo
x\frac{d u}{d x}=\frac{(u+3)(u-1)}{2-u}.
Separamos variáveis:
\frac{2-u}{(u+3)(u-1)}\,d u=\frac{d x}{x}.
Fazemos frações parciais em \displaystyle \frac{2-u}{(u+3)(u-1)}. Procuramos A,B tais que
\frac{2-u}{(u+3)(u-1)}=\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+3}.
Multiplicando pelos denominadores:
2-u = A(u+3)+B(u-1)=(A+B)u+(3A-B).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+B=-1,\\[4pt] 3A-B=2. \end{cases}
Solução: A=\tfrac{1}{4}\], \(B=-\tfrac{5}{4}.
Assim
\int\left(\frac{1/4}{u-1}-\frac{5/4}{u+3}\right)du=\int\frac{d x}{x}.
Integramos:
\frac{1}{4}\ln|u-1|-\frac{5}{4}\ln|u+3|=\ln|x|+C.
Multiplicando por 4 e reagrupando:
\ln|u-1|-5\ln|u+3|=4\ln|x|+C_1.
Exponenciando:
\frac{|u-1|}{|u+3|^{5}}=C x^{4}.
Substituindo u=\dfrac{y}{x} e simplificando (fazendo as potências de x cancelarem):
\frac{y-x}{(y+3x)^{5}}=C,
onde C é constante geral (já absorvemos sinais/valores absolutos no C). Esta é a solução implícita geral. Podemos também escrever
y-x=C\,(y+3x)^{5}.]

Passo 7

II — Campo de direções e simetria (parte c).
  • O campo de direções depende apenas de u=y/x (grau 0), logo inclinações constantes ao longo de cada semirreta. Para esboçar: em cada direção u atribui-se inclinação (4u-3)/(2-u).
  • Exemplos numéricos:
    • u=0 (eixo x): inclinação -3/2.
    • u=1: inclinação (4-3)/(2-1)=1.
    • u=2 dá denominação zero (vertical), isso indica que na reta y=2x as tangentes são verticais (problema singular da expressão).
  • Simetria: como F(-x,-y)=F(x,y) (grau 0), as curvas integrais são simétricas em relação à origem (se y(x) é solução então -y(-x) também é solução). Portanto simetria central: sim.

Passo 8

III — Verificação de homogeneidade (parte a).
A função
F(x,y)=\frac{x^{2}-3y^{2}}{2xy}
satisfaz
F(t x,t y)=\frac{(t x)^{2}-3(t y)^{2}}{2(t x)(t y)} =\frac{t^{2}(x^{2}-3y^{2})}{t^{2}(2xy)}=F(x,y).
Logo é homogênea de grau 0. A equação é homogênea.

Passo 9

III — Resolução (parte b). Substituição \displaystyle u=\frac{y}{x}.
Com y=ux temos \displaystyle \frac{d y}{d x}=u+x\frac{d u}{d x}. A equação dá
u + x\frac{d u}{d x}=\frac{1-3u^{2}}{2u}.
Isolando x\frac{d u}{d x}:
x\frac{d u}{d x}=\frac{1-3u^{2}}{2u}-u.
Colocando sobre denominador comum 2u:
x\frac{d u}{d x}=\frac{1-3u^{2}-2u^{2}}{2u}=\frac{1-5u^{2}}{2u}.
Separamos variáveis:
\frac{2u}{1-5u^{2}}\,du=\frac{dx}{x}.
Para integrar o lado esquerdo, use substituição w=1-5u^{2}, dw=-10u\,du. Então
\int\frac{2u}{1-5u^{2}}du=-\frac{1}{5}\int\frac{dw}{w}=-\frac{1}{5}\ln|w|+C=-\frac{1}{5}\ln|1-5u^{2}|+C.
Isto iguala a \ln|x|+C, então
-\frac{1}{5}\ln|1-5u^{2}|=\ln|x|+C \quad\Longrightarrow\quad \ln|1-5u^{2}|=-5\ln|x|+C_1.
Exponenciando:
|1-5u^{2}|=C x^{-5}.
Substituindo u=\dfrac{y}{x} e multiplicando por x^{5} para escrever de forma polinomial,
x^{5}\bigl(1-5\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}\bigr)=C \quad\Longrightarrow\quad x^{5}-5x^{3}y^{2}=C.
Essa é a família implícita de soluções (constante C arbitrária).

Passo 10

III — Campo de direções e simetria (parte c).
  • O campo depende só de u=y/x, logo as inclinações são constantes em cada raio. Ex.: para u=0 a inclinação é \infty? Não — calcule: F=\dfrac{1-3u^{2}}{2u} tem singularidade em u=0 (eixo x) indicando que para y=0 a expressão original tem denominação zero; na prática a equação define comportamento vertical próximo a y=0 (exceto em pontos onde a expressão faz sentido). Para outros u:
    • u=1: F=(1-3)/(2)= -1.
    • u=\tfrac{1}{\sqrt{5}}: tornam-se zeros/nós da expressão do numerador etc.
  • Simetria: novamente F(-x,-y)=F(x,y) por homogeneidade de grau 0, logo as curvas integrais são simétricas em relação à origem (sim).

Passo 11

IV — Reescrita e verificação de homogeneidade (parte a).
A equação diferencial dada é
\bigl(x^{2}+3xy+y^{2}\bigr)\,dx-x^{2}\,dy=0.
Isto é equivalente a
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+3xy+y^{2}}{x^{2}}.
Note que este membro direito é
F(x,y)=\frac{x^{2}+3xy+y^{2}}{x^{2}}=1+3\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2},
que, substituindo t x,t y, satisfaz F(t x,t y)=F(x,y). Logo homogênea de grau 0. A equação é homogênea.

Passo 12

IV — Resolução (parte b). Substituição \displaystyle u=\frac{y}{x}.
Com y=ux obtemos \displaystyle \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}. A equação dá
u+x\frac{du}{dx}=1+3u+u^{2}.
Isolando x\frac{du}{dx}:
x\frac{du}{dx}=1+2u+u^{2}=(u+1)^{2}.
Separamos variáveis:
\frac{du}{(u+1)^{2}}=\frac{dx}{x}.
Integral da esquerda: \displaystyle \int\frac{du}{(u+1)^{2}}=-\frac{1}{u+1} (pois \frac{d}{du}\frac{1}{u+1}=-\frac{1}{(u+1)^{2}}). Assim
-\frac{1}{u+1}=\ln|x|+C.
Reescrevendo em termos de y:
u=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{\frac{y}{x}+1}=\ln|x|+C.
Assim podemos apresentar a solução em forma explícita (resolvendo para y):
\frac{1}{u+1}=C_1-\ln|x| \quad\Longrightarrow\quad u+1=\frac{1}{C_1-\ln|x|}
\Rightarrow\quad \frac{y}{x}=\frac{1}{C_1-\ln|x|}-1 \quad\Longrightarrow\quad y(x)=x\left(\frac{1}{C_1-\ln|x|}-1\right),
onde C_1 é constante de integração.

Passo 13

IV — Campo de direções e simetria (parte c).
  • O campo de direções depende só de u=y/x, então novamente inclinações constantes ao longo de semirretas a partir da origem. A inclinação em termos de u é 1+3u+u^{2}.
  • Alguns valores para esboço:
    • u=0: inclinação 1.
    • u=-1: inclinação 1-3+1=-1.
    • u=1: inclinação 1+3+1=5.
  • Simetria: F(-x,-y)=F(x,y) (grau 0), portanto as curvas integrais são simétricas em relação à origem (sim).

Resposta

I) homogênea de grau 0. Solução: \displaystyle y(x)=x\,\tan\!\bigl(\ln|x|+C\bigr). Simetria em relação à origem: sim.
II) homogênea de grau 0. Solução implícita: \displaystyle \frac{y-x}{(y+3x)^{5}}=C (ou \;y-x=C\,(y+3x)^{5}\;). Simetria em relação à origem: sim.
III) homogênea de grau 0. Solução implícita: \displaystyle x^{5}-5x^{3}y^{2}=C. Simetria em relação à origem: sim.
IV) homogênea de grau 0. Solução: \displaystyle y(x)=x\!\left(\frac{1}{C-\ln|x|}-1\right). Simetria em relação à origem: sim.

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