Para as TL abaixo, encontre a matriz de transformação, o núcleo e a imagem. Dê uma base e a dimensão para cada caso. Para os polinômios utilize a base canônica \left\{1, x, x^{2}, \ldots\right\}. Atenção: as matrizes dos itens (a), (b) e (c) devem ter tamanhos 4 \times 4,4 \times 3 e 4 \times 4 respectivamente.
D: \mathcal{P}_{3} \rightarrow \mathcal{P}_{3}, \quad D[p(x)]=p^{\prime}(x).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • A transformação linear é D:\mathcal{P}_{3}\to\mathcal{P}_{3} dada por D[p(x)]=p'(x).
  • A base canônica de \mathcal{P}_{3} (domínio e contradomínio) é \{1,x,x^{2},x^{3}\}.
  • O enunciado pede:
    • a matriz de D em relação à base canônica (deve ser 4\times4);
    • o núcleo ( \ker D) com uma base e sua dimensão;
    • a imagem ( \operatorname{Im} D) com uma base e sua dimensão.

Passo 2

Entender como D age em um polinômio geral e nas vetores da base.
  • Tome um polinômio geral em \mathcal{P}_{3}: p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3},onde a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\in\mathbb{R}.
  • A derivada é p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}.Note que p'(x) é um polinômio de grau no máximo 2.
  • Agora calcule D sobre cada vetor da base canônica: D[1]=0, \qquad D[x]=1, \qquad D[x^{2}]=2x, \qquad D[x^{3}]=3x^{2}.

Passo 3

Construir a matriz de D na base canônica \{1,x,x^{2},x^{3}\}.
  • Para montar a matriz, cada coluna é a coordenada do image da correspondente base do domínio, escrita em coordenadas da base canônica do contradomínio (ordem: coeficiente de 1, de x, de x^{2}, de x^{3}).
  • Coordenadas:
    • D[1]=0 tem coordenadas \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
    • D[x]=1 tem coordenadas \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
    • D[x^{2}]=2x tem coordenadas \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
    • D[x^{3}]=3x^{2} tem coordenadas \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Assim, a matriz de D (colunas na ordem das bases) é \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Determinar o núcleo \ker D.
  • Por definição, \ker D=\{p\in\mathcal{P}_{3}:p'(x)=0\}.
  • Para p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3} temos p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}.
  • Exigir p'(x)=0 significa que todos os coeficientes são zero: a_{1}=0,\qquad 2a_{2}=0\Rightarrow a_{2}=0,\qquad 3a_{3}=0\Rightarrow a_{3}=0.O único coeficiente livre é a_{0}.
  • Portanto todo polinômio do núcleo é da forma a_{0}, i.e. constante. Logo \ker D=\operatorname{span}\{1\}.
  • Uma base de \ker D é \{1\} e \dim(\ker D)=1.

Passo 5

Determinar a imagem \operatorname{Im} D.
  • Observação: para qualquer p\in\mathcal{P}_{3}, p'(x) é um polinômio de grau no máximo 2. Assim \operatorname{Im} D\subseteq\mathcal{P}_{2}, isto é, está contida no subespaço gerado por \{1,x,x^{2}\}.
  • Mostrar que todo polinômio arbitrário q(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}\in\mathcal{P}_{2} é atingido por D: escolha p(x)=c_{0}+b_{0}x+\frac{b_{1}}{2}x^{2}+\frac{b_{2}}{3}x^{3}.Então p'(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}=q(x). Assim \operatorname{Im} D=\mathcal{P}_{2}.
  • Logo uma base da imagem é \{1,x,x^{2}\} e \dim(\operatorname{Im} D)=3.

Passo 6

Checagem pela dimensão (teorema do posto-nulidade).
  • \dim(\mathcal{P}_{3})=4.
  • Conferir que \dim(\ker D)+\dim(\operatorname{Im} D)=1+3=4, consistente com o teorema do posto-nulidade.

Resposta

Matriz de D:
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\ker D=\operatorname{span}\{1\},\\ \dim(\ker D)=1
\operatorname{Im} D=\operatorname{span}\{1,x,x^{2}\}=\mathcal{P}_{2},\\ \dim(\operatorname{Im} D)=3]

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