Caso exista, encontre a transformação inversa da transformação
definida por
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
O que se pede: encontrar a transformação inversa
, caso exista. Informações relevantes fornecidas:
- A regra explícita de
em coordenadas: primeira componente , segunda componente . - Domínio e contradomínio:
.
Passo 2
Interpretação matricial (ideia útil): toda transformação linear de
pode ser escrita como multiplicação por uma matriz
. Escrevendo
como vetor coluna, temos
onde a matriz
é obtida pegando as imagens dos vetores base
e
. Aqui diretamente:
pois
Passo 3
Verificar se
é invertível: para matriz
a condição é que o determinante seja diferente de zero. O determinante de
Como
, a matriz é invertível e portanto a transformação
tem inversa linear
.]
Passo 4
Calcular a inversa da matriz
usando a fórmula explícita para
:
Substituindo
,
,
,
e
, obtemos
Passo 5
Expressar a inversa como transformação em coordenadas. Se chamarmos a variável de entrada da inversa por
Esse resultado também pode ser obtido de forma elementar resolvendo o sistema
somando as duas equações para achar
. Ambas as abordagens dão a mesma expressão.]
Passo 6
Verificação rápida (garantia de que é realmente a inversa): aplicar
sobre
e checar que volta
.
Assim, a fórmula está correta.