Caso exista, encontre a transformação inversa da transformação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y)=(x+y, x-y).

Passo 1

O enunciado dá a transformação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (x+y,\;x-y).
O que se pede: encontrar a transformação inversa T^{-1}, caso exista. Informações relevantes fornecidas:
  • A regra explícita de T em coordenadas: primeira componente x+y, segunda componente x-y.
  • Domínio e contradomínio: \mathbb{R}^2.

Passo 2

Interpretação matricial (ideia útil): toda transformação linear de \mathbb{R}^2 pode ser escrita como multiplicação por uma matriz 2\times2. Escrevendo (x,y) como vetor coluna, temos
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix},
onde a matriz A é obtida pegando as imagens dos vetores base (1,0) e (0,1). Aqui diretamente:
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},
pois
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+y\\[4pt]x-y\end{pmatrix}.]

Passo 3

Verificar se A é invertível: para matriz 2\times2 a condição é que o determinante seja diferente de zero. O determinante de
\displaystyle A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} é ad-bc. Aplicando a A:
\det(A)=1\cdot(-1)-1\cdot1=-1-1=-2.
Como \det(A)=-2\neq0, a matriz é invertível e portanto a transformação T tem inversa linear T^{-1}.]

Passo 4

Calcular a inversa da matriz A usando a fórmula explícita para 2\times2:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Substituindo a=1, b=1, c=1, d=-1 e \det(A)=-2, obtemos
A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Expressar a inversa como transformação em coordenadas. Se chamarmos a variável de entrada da inversa por (u,v)\in\mathbb{R}^2\) (ou seja, \((u,v)=T(x,y)\)), então \[T^{-1}(u,v)=A^{-1}\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{u+v}{2}\\[8pt]\dfrac{u-v}{2}\end{pmatrix}.
Esse resultado também pode ser obtido de forma elementar resolvendo o sistema
\begin{cases} u=x+y,\\[4pt] v=x-y, \end{cases}
somando as duas equações para achar x=\dfrac{u+v}{2}\] e subtraindo para achar \(y=\dfrac{u-v}{2}. Ambas as abordagens dão a mesma expressão.]

Passo 6

Verificação rápida (garantia de que é realmente a inversa): aplicar T^{-1} sobre T(x,y) e checar que volta (x,y).
T^{-1}(T(x,y))=T^{-1}(x+y,\;x-y)=\Big(\tfrac{(x+y)+(x-y)}{2},\;\tfrac{(x+y)-(x-y)}{2}\Big) =\big(x,\;y\big).
Assim, a fórmula está correta.

Resposta

T^{-1}(u,v)=\left(\dfrac{u+v}{2},\dfrac{u-v}{2}\right)

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