Para as TL abaixo, encontre a matriz de transformação, o núcleo e a imagem. Dê uma base e a dimensão para cada caso. Para os polinômios utilize a base canônica \left\{1, x, x^{2}, \ldots\right\}. Atenção: as matrizes dos itens (a), (b) e (c) devem ter tamanhos 4 \times 4,4 \times 3 e 4 \times 4 respectivamente.
T: M(2,2) \rightarrow M(2,2)
\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -1 & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: M(2,2)\to M(2,2) definida por
T\!\left(\begin{bmatrix}a & b \\\ c & d\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & -2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a & b \\\ c & d\end{bmatrix}.
O que se pede:
  • A matriz de T relativa à base canônica de M(2,2) (deve ser 4\times4);
  • O núcleo de T: uma base e a dimensão;
  • A imagem de T: uma base e a dimensão.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz fixa que multiplica à esquerda é A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & -2\end{bmatrix}.
  • Um elemento genérico de M(2,2) é \begin{bmatrix}a & b \\\ c & d\end{bmatrix}.
  • Usarei a base canônica de M(2,2) ordenada como E_{11}=\begin{bmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{bmatrix},\quad E_{12}=\begin{bmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{bmatrix},\quad E_{21}=\begin{bmatrix}0&0\\[2pt]1&0\end{bmatrix},\quad E_{22}=\begin{bmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{bmatrix},associando coordenadas na ordem (a,b,c,d).]

Passo 2

Explicação do método que vou usar (passo didático):
  • Para obter a matriz de T relativamente à base escolhida eu calculo T(E_{11}),T(E_{12}),T(E_{21}),T(E_{22}) e escrevo as coordenadas desses resultados nessa mesma base; essas coordenadas formam as colunas da matriz de T.
  • Para achar o núcleo resolvo T(X)=0, que, como T é multiplicação à esquerda por A, equivale a A X = 0. Isso reduz-se a resolver A v = 0 para as colunas v de X.
  • Para achar a imagem observo que as colunas de T(X)=A X estão no subespaço coluna de A. Assim a imagem é o conjunto de matrizes cujas colunas pertencem ao espaço coluna de A.
Vou agora calcular T sobre cada elemento da base.

Passo 3

Calcular T(E_{11}). Multiplicando:
T(E_{11}) = A E_{11} = \begin{bmatrix}1&2\\[2pt]-1&-2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\\[2pt]-1&0\end{bmatrix}.
Nas coordenadas (a,b,c,d) isso corresponde ao vetor coluna
\begin{bmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{bmatrix}.
Calcular T(E_{12}):
T(E_{12}) = A E_{12} = \begin{bmatrix}1&2\\[2pt]-1&-2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0&1\\[2pt]0&-1\end{bmatrix},
que em coordenadas é
\begin{bmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{bmatrix}.
Calcular T(E_{21}):
T(E_{21}) = A E_{21} = \begin{bmatrix}1&2\\[2pt]-1&-2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&0\\[2pt]1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2&0\\[2pt]-2&0\end{bmatrix},
coordenadas
\begin{bmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-2\\[2pt]0\end{bmatrix}.
Calcular T(E_{22}):
T(E_{22}) = A E_{22} = \begin{bmatrix}1&2\\[2pt]-1&-2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0&2\\[2pt]0&-2\end{bmatrix},
coordenadas
\begin{bmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]-2\end{bmatrix}.]

Passo 4

Montar a matriz de T na base escolhida: as colunas são as coordenadas calculadas em ordem E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}. Logo a matriz M(T) é
M(T)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] -1 & 0 & -2 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & -2 \end{bmatrix},
que é uma matriz 4\times4 como exigido.]

Passo 5

Encontrar o núcleo de T.
Regra chave: T(X)=A X = 0 se, e só se, cada coluna de X satisfaz A v = 0. Então preciso do núcleo de A.
Resolver A\begin{bmatrix}u\\[2pt]v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\end{bmatrix}:
\begin{bmatrix}1&2\\[2pt]-1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u\\[2pt]v\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}u+2v\\[2pt]-u-2v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\end{bmatrix}.
Isso dá a equação u+2v=0, i.e. u=-2v. Portanto o espaço solução é
\left\{\begin{bmatrix}-2v\\[2pt]v\end{bmatrix}: v\in\mathbb{R}\right\}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{bmatrix}-2\\[2pt]1\end{bmatrix}\right\}.
Cada coluna de X deve ser desse tipo. Se X=\begin{bmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{bmatrix}, então existe s,t tais que
\begin{bmatrix}a\\[2pt]c\end{bmatrix}=s\begin{bmatrix}-2\\[2pt]1\end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix}b\\[2pt]d\end{bmatrix}=t\begin{bmatrix}-2\\[2pt]1\end{bmatrix}.
Assim X tem a forma
X = \begin{bmatrix}-2s & -2t \\[2pt] s & t\end{bmatrix} = s\begin{bmatrix}-2&0\\[2pt]1&0\end{bmatrix} + t\begin{bmatrix}0&-2\\[2pt]0&1\end{bmatrix}.
Logo uma base do núcleo é, por exemplo,
\left\{\,\begin{bmatrix}-2&0\\[2pt]1&0\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}0&-2\\[2pt]0&1\end{bmatrix}\right\},
e a dimensão do núcleo é \dim\ker(T)=2.]

Passo 6

Encontrar a imagem de T.
Observação: para qualquer X, as colunas de T(X)=A X são combinações lineares das colunas de A. As colunas de A são
\begin{bmatrix}1\\[2pt]-1\end{bmatrix}\quad\text{e}\quad\begin{bmatrix}2\\[2pt]-2\end{bmatrix},
que são colineares ( \begin{bmatrix}2\\[2pt]-2\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1\\[2pt]-1\end{bmatrix}). Então o espaço coluna de A tem dimensão 1, gerado por \begin{bmatrix}1\\[2pt]-1\end{bmatrix}.
Portanto as colunas de qualquer T(X) têm a forma \alpha\begin{bmatrix}1\\[2pt]-1\end{bmatrix} e \beta\begin{bmatrix}1\\[2pt]-1\end{bmatrix} (com \alpha,\beta\in\mathbb{R}). Assim a imagem de T é o conjunto de matrizes
\left\{\begin{bmatrix}\alpha & \beta \\[2pt]-\alpha & -\beta\end{bmatrix} : \alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}.
Isso é um subespaço de dimensão 2 (os parâmetros \alpha,\beta são livres). Uma base natural da imagem é dada por escolher (\alpha,\beta)=(1,0) e (0,1), i.e.
\left\{\,\begin{bmatrix}1&0\\[2pt]-1&0\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}0&1\\[2pt]0&-1\end{bmatrix}\right\}.
Note que essas duas matrizes são exatamente T(E_{11}) e T(E_{12}) calculadas antes. Portanto \dim\operatorname{Im}(T)=2.]

Passo 7

Checagem rápida de consistência: pelo teorema do posto-nulidade para transformação linear entre espaços de dimensão 4,
\dim\ker(T)+\dim\operatorname{Im}(T)=4.
Aqui 2+2=4, consistente com os resultados.

Resposta

Matriz de T (na base ordenada E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}):
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] -1 & 0 & -2 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & -2 \end{bmatrix}
Base do núcleo e dimensão:
\ker(T)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{bmatrix}-2&0\\[2pt]1&0\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}0&-2\\[2pt]0&1\end{bmatrix}\right\},\qquad \dim\ker(T)=2
Base da imagem e dimensão:
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{bmatrix}1&0\\[2pt]-1&0\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}0&1\\[2pt]0&-1\end{bmatrix}\right\},\qquad \dim\operatorname{Im}(T)=2

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