Para as TL abaixo, encontre a matriz de transformação, o núcleo e a imagem. Dê uma base e a dimensão para cada caso. Para os polinômios utilize a base canônica \left\{1, x, x^{2}, \ldots\right\}. Atenção: as matrizes dos itens (a), (b) e (c) devem ter tamanhos 4 \times 4,4 \times 3 e 4 \times 4 respectivamente. T: M(2,2) \rightarrow M(2,2) \left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -1 & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T: M(2,2)\to M(2,2) definida por
T\!\left(\begin{bmatrix}a & b \\\ c & d\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & -2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a & b \\\ c & d\end{bmatrix}.
O que se pede:
A matriz de T relativa à base canônica de M(2,2) (deve ser 4\times4);
O núcleo de T: uma base e a dimensão;
A imagem de T: uma base e a dimensão.
Informações relevantes dadas:
A matriz fixa que multiplica à esquerda é A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & -2\end{bmatrix}.
Um elemento genérico de M(2,2) é \begin{bmatrix}a & b \\\ c & d\end{bmatrix}.
Usarei a base canônica de M(2,2) ordenada comoE_{11}=\begin{bmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{bmatrix},\quad E_{12}=\begin{bmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{bmatrix},\quad E_{21}=\begin{bmatrix}0&0\\[2pt]1&0\end{bmatrix},\quad E_{22}=\begin{bmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{bmatrix},associando coordenadas na ordem (a,b,c,d).]
Passo 2
Explicação do método que vou usar (passo didático):
Para obter a matriz de T relativamente à base escolhida eu calculo T(E_{11}),T(E_{12}),T(E_{21}),T(E_{22}) e escrevo as coordenadas desses resultados nessa mesma base; essas coordenadas formam as colunas da matriz de T.
Para achar o núcleo resolvo T(X)=0, que, como T é multiplicação à esquerda por A, equivale a A X = 0. Isso reduz-se a resolver A v = 0 para as colunas v de X.
Para achar a imagem observo que as colunas de T(X)=A X estão no subespaço coluna de A. Assim a imagem é o conjunto de matrizes cujas colunas pertencem ao espaço coluna de A.
Vou agora calcular T sobre cada elemento da base.
Passo 3
Calcular T(E_{11}). Multiplicando:
T(E_{11}) = A E_{11} = \begin{bmatrix}1&2\\[2pt]-1&-2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\\[2pt]-1&0\end{bmatrix}.
Nas coordenadas (a,b,c,d) isso corresponde ao vetor coluna
que são colineares (\begin{bmatrix}2\\[2pt]-2\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1\\[2pt]-1\end{bmatrix}). Então o espaço coluna de A tem dimensão 1, gerado por \begin{bmatrix}1\\[2pt]-1\end{bmatrix}.
Portanto as colunas de qualquer T(X) têm a forma \alpha\begin{bmatrix}1\\[2pt]-1\end{bmatrix} e \beta\begin{bmatrix}1\\[2pt]-1\end{bmatrix} (com \alpha,\beta\in\mathbb{R}). Assim a imagem de T é o conjunto de matrizes
Isso é um subespaço de dimensão 2 (os parâmetros \alpha,\beta são livres). Uma base natural da imagem é dada por escolher (\alpha,\beta)=(1,0) e (0,1), i.e.