Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma TL definida por T(x, y, z)=(2 x+z,-x+y+3 z). Encontre bases B e B^{\prime} de \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2}, respectivamente, para os quais [T]_{B^{\prime}}^{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right].
Essas bases são únicas? Se não, dê outro exemplo.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y,z)=(2x+z,\,-x+y+3z).
Pede-se:
Encontrar bases B de \mathbb{R}^3 e B' de \mathbb{R}^2 tais que a matriz de T relativa a essas bases seja
Dizer se essas bases são únicas; se não forem, dar outro exemplo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A condição matricial exigida significa, por colunas, que se B=(v_1,v_2,v_3) e B'=(w_1,w_2) entãoT(v_1)=w_1,\qquad T(v_2)=w_2,\qquad T(v_3)=0.
Precisamos escolher vetores v_1,v_2,v_3 em \mathbb{R}^3 e w_1,w_2 em \mathbb{R}^2 que formem bases e satisfaçam as igualdades acima.]
Passo 2
Estratégia (explicada devagar e com carinho): escolher uma base simples para \mathbb{R}^2 — por exemplo a base canônica \,w_1=(1,0),\; w_2=(0,1)\, — e então encontrar vetores v_1,v_2\in\mathbb{R}^3 que sejam preimagens desses vetores (isto é, resolver T(v_1)=w_1 e T(v_2)=w_2). Para v_3 basta escolher um vetor não nulo do núcleo de T (pois precisamos que T(v_3)=0). Depois verificamos que (v_1,v_2,v_3) é uma base de \mathbb{R}^3 (isto é, vetores independentes). Essa construção dá diretamente a matriz desejada.
Antes de resolver, lembro uma coisa importante sobre sistema linear: T(x,y,z)=(2x+z,\,-x+y+3z) são duas equações para três incógnitas, então para cada alvo dado em \mathbb{R}^2 esperamos ter infinitas preimagens (se consistentes). Isso é bom: nos dá liberdade para escolher soluções simples.
Passo 3
Resolver T(x,y,z)=(1,0) (para obter v_1). Escrevendo as equações:
2x+z=1, \qquad -x+y+3z=0.
Temos 2 equações e 3 incógnitas; escolhemos uma incógnita para simplificar. Tomemos z=0. Então
Portanto as imagens estão conforme queremos: T(v_1)=w_1,\;T(v_2)=w_2,\;T(v_3)=0.
Passo 7
Verificar que B=(v_1,v_2,v_3) é uma base de \mathbb{R}^3, isto é, os vetores são linearmente independentes. Uma forma direta é calcular o determinante da matriz com essas colunas:
Determinante não nulo implica independência linear e, portanto, B é de fato uma base. A base B'=(w_1,w_2)=\bigl((1,0),(0,1)\bigr) é a base canônica de \mathbb{R}^2, portanto também é uma base.]
A questão da unicidade: essas bases não são únicas. Motivo: ao resolver T(v)=w para um w\in\mathbb{R}^2 obtemos infinitas soluções (há uma liberdade de um parâmetro porque são 2 equações em 3 incógnitas). Além disso, pode-se escolher qualquer base B' de \mathbb{R}^2 (não só a canônica) e então escolher preimagens dos vetores dessa base. Sempre que v_1,v_2 forem preimagens de uma base de \mathbb{R}^2 e v_3 for um vetor não nulo do núcleo, a tripla (v_1,v_2,v_3) será uma base de \mathbb{R}^3 e dará a matriz pedida.
Um outro exemplo explícito (mostrando outra escolha): tome ainda B'=( (1,0),(0,1) ) mas escolha uma preimagem diferente de (1,0). Por exemplo resolvendo as equações para (1,0) com a escolha x=0 dá z=1 e y=-3, então
v_1'=(0,-3,1)
satisfaz T(v_1')=(1,0). Mantendo v_2=(0,1,0) e v_3=(1,7,-2) obtemos outra base
e verifica-se (cálculo do determinante análogo) que é uma base de \mathbb{R}^3. Essa escolha alternativa também produz a mesma matriz \begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}.]