Exercício 5 Considere theta in R fixado e os vetores
u1=(cos (theta), sen(theta)) e u2=(-sen(theta), cos (theta))
(a) Mostre que R^2 é uma base de [S]A, B.
(b) Obtenha [S]B, A e B=(1,0),(0,1), sendo .

Passo 1

O enunciado pede para θ∈ℝ fixo verificar que A={u₁,u₂}, com u₁=(cosθ,senθ) e u₂=(−senθ,cosθ), é base de ℝ², e em seguida obter as matrizes de representação de uma rotação S de ângulo θ nas bases A e B, sendo B a base canônica.

Passo 2

Para mostrar que A é base, basta mostrar que u₁ e u₂ são linearmente independentes. Montamos a matriz P cujas colunas são u₁ e u₂:
P=cosθ & -sinθ sinθ & cosθ
Calculamos o determinante:
det P=cos^2θ+sin^2θ=1neq0
Como o determinante é não nulo, as colunas são independentes e P é invertível, logo {u₁,u₂} forma base de ℝ².

Passo 3

Definimos S:ℝ²→ℝ² como a rotação de ângulo θ no sentido anti-horário. Por definição de rotação,
S(e1)=u₁=(cosθ,sinθ), S(e2)=u₂=(−sinθ,cosθ)

Passo 4

Para obter [S]_{A,B}, usamos que as colunas são as coordenadas em B de S(u₁) e S(u₂). Primeiramente,
S(u₁)=S(cosθ,sinθ)=(cosθcosθ-sinθsinθ,;cosθsinθ+sinθcosθ)=(cos2θ,sin2θ),
S(u₂)=S(-sinθ,cosθ)=(-sinθcosθ-cosθsinθ,;-sinθsinθ+cosθcosθ)=(-sin2θ,cos2θ)
Logo,
[S]A,B=cos2θ & -sin2θ sin2θ & cos2θ

Passo 5

Para obter [S]_{B,A}, as colunas são as coordenadas em A de S(e₁) e S(e₂). Como S(e₁)=u₁=1·u₁+0·u₂ e S(e₂)=u₂=0·u₁+1·u₂, segue
[S]B,A=1 & 0 0 & 1

Resposta

[S]{A,B} e [S]{B,A} são dadas por:
[S]A,B=cos(2theta)&-sin(2theta) sin(2theta)&cos(2theta), [S]B,A=1&00&1

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