Exercício 5 Considere
fixado e os vetores
(a) Mostre que
é uma base de
.
(b) Obtenha
e
, sendo
.
(b) Obtenha
Passo 1
O enunciado pede para θ∈ℝ fixo verificar que A={u₁,u₂}, com u₁=(cosθ,senθ) e u₂=(−senθ,cosθ), é base de ℝ², e em seguida obter as matrizes de representação de uma rotação S de ângulo θ nas bases A e B, sendo B a base canônica.
Passo 2
Para mostrar que A é base, basta mostrar que u₁ e u₂ são linearmente independentes. Montamos a matriz P cujas colunas são u₁ e u₂:
Calculamos o determinante:
Como o determinante é não nulo, as colunas são independentes e P é invertível, logo {u₁,u₂} forma base de ℝ².
Passo 3
Definimos S:ℝ²→ℝ² como a rotação de ângulo θ no sentido anti-horário. Por definição de rotação,
Passo 4
Para obter [S]_{A,B}, usamos que as colunas são as coordenadas em B de S(u₁) e S(u₂). Primeiramente,
Logo,
Passo 5
Para obter [S]_{B,A}, as colunas são as coordenadas em A de S(e₁) e S(e₂). Como S(e₁)=u₁=1·u₁+0·u₂ e S(e₂)=u₂=0·u₁+1·u₂, segue
Resposta
[S]{A,B} e [S]{B,A} são dadas por: