Um toca-discos que gira a 78 rev/min desacelera e pára 32 s após o motor ser desligado. (a) Encontre a sua aceleração angular (constante) em rev/min². (b) Quantas revoluções ele faz durante este tempo?
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos um toca-discos que gira a 78 rev/min e desacelera até parar em 32 segundos após o motor ser desligado. O conteúdo que vamos usar aqui é de movimento angular, especificamente a desaceleração angular constante. Precisamos encontrar a aceleração angular e o número de revoluções que o toca-discos faz durante esse tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas:
- Velocidade angular inicial (
): 78 rev/min - Velocidade angular final (
): 0 rev/min (já que para) - Tempo (
): 32 s
Queremos encontrar:
(a) A aceleração angular (
) em rev/min²
(b) O número total de revoluções (
) durante esse tempo
Passo 3
Vamos converter o tempo de segundos para minutos para manter as unidades consistentes:
$ t = 32 s = \frac{32}{60} min \approx 0,5333 min $
Passo 4
Para encontrar a aceleração angular, usamos a fórmula da velocidade angular final:
$ \omega_f = \omega_i + \alpha \cdot t $
Como o toca-discos para,
. Então:
$ 0 = 78 rev/min + \alpha \cdot 0,5333 min $
Passo 5
Isolando
:
$ \alpha = -\frac{78 rev/min}{0,5333 min} \approx -146,25 rev/min² $
Passo 6
Portanto, a aceleração angular constante é aproximadamente
rev/min².
Passo 7
Agora, para encontrar o número total de revoluções durante a desaceleração, usamos a fórmula:
$ \theta = \omega_i \cdot t + \frac{1}{2} \cdot \alpha \cdot t^2 $
Substituindo os valores:
$ \theta = 78 rev/min \cdot 0,5333 min + \frac{1}{2} \cdot (-146,25 rev/min²) \cdot (0,5333 min)^2 $
Passo 8
Calculando cada termo:
$ 78 \cdot 0,5333 \approx 41,6 revoluções $
$ \frac{1}{2} \cdot (-146,25) \cdot (0,5333)^2 \approx -20,8 revoluções $
Somando os dois:
$ 41,6 - 20,8 = 20,8 revoluções $
Resposta
(a) A aceleração angular constante é de aproximadamente
rev/min².
(b) O toca-discos realiza cerca de
revoluções durante a desaceleração.