Toda dízima é um número racional. Essa afirmação é verdadeira? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se toda dízima é um número racional. Vamos trabalhar com o conteúdo de números racionais e dízimas periódicas. Para resolver, vamos precisar entender o que é um número racional e como uma dízima periódica pode ser representada como uma fração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como o quociente de dois inteiros, ou seja, na forma , onde e são inteiros e .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre dízimas periódicas. Uma dízima periódica é uma fração decimal que tem um ou mais dígitos que se repetem infinitamente. Por exemplo, ou .
Passo 4
Para mostrar que toda dízima periódica é racional, vamos transformar uma dízima periódica em uma fração. Vamos usar x = 0,3 como exemplo.
Multiplicamos ambos os lados por 10 (já que o período tem 1 dígito): 10x = 3,3
Subtraímos a primeira equação da segunda: 10x - x = 3,3 - 0,3 9x = 3 x = 39 = 13
Esse processo mostra que a dízima periódica 0,3 pode ser expressa como a fração 13, que é um número racional. O mesmo vale para qualquer dízima periódica.
Resposta
Sim, toda dízima periódica é um número racional, pois pode ser expressa como uma fração ab, onde a e b são inteiros.