Toda dízima é um número racional. Essa afirmação é verdadeira? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se toda dízima é um número racional. Vamos trabalhar com o conteúdo de números racionais e dízimas periódicas. Para resolver, vamos precisar entender o que é um número racional e como uma dízima periódica pode ser representada como uma fração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como o quociente de dois inteiros, ou seja, na forma ab, onde a e b são inteiros e b neq 0.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre dízimas periódicas. Uma dízima periódica é uma fração decimal que tem um ou mais dígitos que se repetem infinitamente. Por exemplo, 0,3 ou 0,142857.

Passo 4

Para mostrar que toda dízima periódica é racional, vamos transformar uma dízima periódica em uma fração. Vamos usar x = 0,3 como exemplo.
Multiplicamos ambos os lados por 10 (já que o período tem 1 dígito):
10x = 3,3
Subtraímos a primeira equação da segunda:
10x - x = 3,3 - 0,3
9x = 3
x = 39 = 13
Esse processo mostra que a dízima periódica 0,3 pode ser expressa como a fração 13, que é um número racional. O mesmo vale para qualquer dízima periódica.

Resposta

Sim, toda dízima periódica é um número racional, pois pode ser expressa como uma fração ab, onde a e b são inteiros.

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