Sem efetuar a integração, mostre que \left|\oint_{c} \frac{d z}{z}\right| \leq 1, onde C é o segmento retilíneo que une 1 a 1+i.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\left|\oint_{C}\frac{dz}{z}\right| \le 1,
onde C é o segmento retilíneo que une 1 a 1+i.
Informações dadas e o que precisamos:
  • A curva C é o segmento retilíneo de extremidades 1 e 1+i.
  • A função integrada é f(z)=\dfrac{1}{z}.
  • Temos que mostrar a desigualdade para o valor absoluto da integral ao longo de C.
  • Não devemos efetuar a integral explicitamente, apenas estimá-la.

Passo 2

Vamos usar uma estimativa padrão para integrais de linha complexas (a chamada desigualdade ML). Vou explicar essa desigualdade cuidadosamente.
A desigualdade diz:
\left|\int_{C} f(z)\,dz\right| \le M\cdot L,
onde
  • M = \sup_{z\in C} |f(z)| é o maior valor absoluto de f sobre a curva C,
  • L é o comprimento da curva C,
  • dz é o diferencial complexo e o módulo |\cdot| é o módulo complexo.
Por que isso vale? Rápida demonstração (intuitiva e simples):
\left|\int_{C} f(z)\,dz\right| \le \int_{C} |f(z)|\,|dz|
porque |\int g| \le \int |g| e aqui g(z)=f(z) em notação de curva. Como |f(z)|\le M para todo z\in C, temos
\int_{C} |f(z)|\,|dz| \le \int_{C} M\,|dz| = M\int_{C}|dz| = M\cdot L.
Assim a desigualdade ML está justificada. (Nessa demonstração explicitei o que cada símbolo significa para você lembrar na prova.)

Passo 3

Calcular o comprimento L de C. Como C é o segmento que une 1 a 1+i, o comprimento é simplesmente a distância entre os pontos:
L = |(1+i) - 1| = |i| = 1.
Ou, por parametrização z(t)=1+it,\; t\in[0,1], temos z'(t)=i e
L=\int_{0}^{1}|z'(t)|\,dt=\int_{0}^{1}|i|\,dt=\int_{0}^{1}1\,dt=1.
Eu usei os dois modos para você ver: fórmula distância entre pontos e parametrização.

Passo 4

Encontrar M=\sup_{z\in C}\left|\dfrac{1}{z}\right|.
Parametrizando C por z(t)=1+it, t\in[0,1], temos
|z(t)|=\sqrt{1+t^{2}}.
Como t\in[0,1], \sqrt{1+t^{2}}\ge \sqrt{1+0^{2}}=1. Portanto
\left|\frac{1}{z(t)}\right|=\frac{1}{|z(t)|}\le 1
para todo t\in[0,1]. Assim o supremo sobre C é
M=\sup_{z\in C}\left|\frac{1}{z}\right|=1,
porque o valor máximo de \dfrac{1}{|z(t)|} ocorre em t=0 (no ponto z=1) e vale 1.

Passo 5

Aplicar a desigualdade ML com os valores obtidos:
  • M=1 (Passo 4),
  • L=1 (Passo 3).
Logo
\left|\oint_{C}\frac{dz}{z}\right| \le M\cdot L = 1\cdot 1 = 1.

Resposta

\left|\displaystyle\oint_{C}\frac{dz}{z}\right|\le 1

Exercícios relacionados