Sem efetuar a integração, mostre que
, onde C é o segmento retilíneo que une 1 a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
onde
é o segmento retilíneo que une
a
.
Informações dadas e o que precisamos:
- A curva
é o segmento retilíneo de extremidades e . - A função integrada é
. - Temos que mostrar a desigualdade para o valor absoluto da integral ao longo de
. - Não devemos efetuar a integral explicitamente, apenas estimá-la.
Passo 2
Vamos usar uma estimativa padrão para integrais de linha complexas (a chamada desigualdade
). Vou explicar essa desigualdade cuidadosamente.
A desigualdade diz:
onde
-
é o maior valor absoluto de sobre a curva , -
é o comprimento da curva , -
é o diferencial complexo e o módulo é o módulo complexo.
Por que isso vale? Rápida demonstração (intuitiva e simples):
porque
e aqui
em notação de curva. Como
para todo
, temos
Assim a desigualdade
está justificada. (Nessa demonstração explicitei o que cada símbolo significa para você lembrar na prova.)
Passo 3
Calcular o comprimento
de
. Como
é o segmento que une
a
, o comprimento é simplesmente a distância entre os pontos:
Ou, por parametrização
, temos
e
Eu usei os dois modos para você ver: fórmula distância entre pontos e parametrização.
Passo 4
Encontrar
.
Parametrizando
por
,
, temos
Como
,
. Portanto
para todo
. Assim o supremo sobre
é
porque o valor máximo de
ocorre em
(no ponto
) e vale
.
Passo 5
Aplicar a desigualdade
com os valores obtidos:
-
(Passo 4), -
(Passo 3).
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