Toda EDO homogênea de coeficientes constantes de ordem 2 ou maior possui um polinômio característico. E de acordo com as raízes desse polinômio característico podemos deduzir como será a solução da EDO. Sendo assim, diga qual é a ordem da EDO e sua solução, de acordo com as raízes do seu polinômio característico:
\lambda_{1}=6, \lambda_{2}=6, \lambda_{3}=6

Passo 1

O enunciado dá as raízes do polinômio característico: \lambda_{1}=6, \lambda_{2}=6, \lambda_{3}=6. As perguntas pedem que eu diga (1) a ordem da EDO e (2) a solução geral da EDO homogênea de coeficientes constantes correspondente a esse polinômio característico.

Passo 2

Contagem das raízes com multiplicidade: temos três raízes listadas, todas iguais a 6. Numa EDO linear homogênea com coeficientes constantes, o grau do polinômio característico (ou seja, o número total de raízes contando multiplicidade) é igual à ordem da EDO. Portanto a ordem da EDO é 3.

Passo 3

Relembrando a regra prática (aulas mode: explicação mansa):
  • Se \lambda é uma raiz simples (multiplicidade 1) do polinômio característico, uma solução independente associada é e^{\lambda x}.
  • Se \lambda é uma raiz de multiplicidade m, então surgem m soluções independentes da forma e^{\lambda x},\; x e^{\lambda x},\; x^{2} e^{\lambda x},\; \dots,\; x^{m-1} e^{\lambda x}.
Em outras palavras, para cada raiz repetida você multiplica por potências sucessivas de x até obter m soluções linearmente independentes.

Passo 4

Por que isso faz sentido (explicação curta e intuitiva): se o operador diferencial linear é (D-\lambda)^{m} (onde D significa derivar em relação a x), então (D-\lambda)\big(e^{\lambda x}\big)=0. Para múltipla aplicação (D-\lambda)^{m} precisamos de soluções que, ao serem sujeitas a esse operador, gerem zeros após m aplicações — as funções x^{k}e^{\lambda x} têm exatamente essa propriedade: cada aplicação de (D-\lambda) reduz o grau do polinômio em x até chegar a zero depois de m aplicações. Isso garante independência linear dessas soluções.

Passo 5

Aplicando a regra ao caso dado: aqui \lambda=6 tem multiplicidade m=3. Logo as três soluções independentes fundamentais são
e^{6x},\quad x e^{6x},\quad x^{2} e^{6x}.
A solução geral da EDO homogênea (combinação linear das soluções fundamentais) é
y = C_{1} e^{6x} + C_{2} x e^{6x} + C_{3} x^{2} e^{6x}.
É comum factorizar e^{6x} e escrever
y = \big(C_{1} + C_{2} x + C_{3} x^{2}\big) e^{6x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias (reais ou complexas, conforme o problema). Pequeno exemplo extra para fixar (rápido): se uma EDO tivesse raízes \lambda=2 com multiplicidade 2, a solução seria y=(A + Bx)e^{2x}. Aqui subimos a multiplicidade para 3, então temos até x^{2} multiplicando e^{6x}. Você já pode aplicar isso direto em prova: conta multiplicidade, escreve as potências de x até m-1, multiplica por e^{\lambda x}, soma com constantes.

Resposta

Ordem: 3
Solução geral: y=\big(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}\big)e^{6x}

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