Toda EDO homogênea de coeficientes constantes de ordem 2 ou maior possui um polinômio característico. E de acordo com as raízes desse polinômio característico podemos deduzir como será a solução da EDO. Sendo assim, diga qual é a ordem da EDO e sua solução, de acordo com as raízes do seu polinômio característico:
Passo 1
O enunciado dá as raízes do polinômio característico:
,
,
. As perguntas pedem que eu diga (1) a ordem da EDO e (2) a solução geral da EDO homogênea de coeficientes constantes correspondente a esse polinômio característico.
Passo 2
Contagem das raízes com multiplicidade: temos três raízes listadas, todas iguais a
. Numa EDO linear homogênea com coeficientes constantes, o grau do polinômio característico (ou seja, o número total de raízes contando multiplicidade) é igual à ordem da EDO. Portanto a ordem da EDO é
.
Passo 3
Relembrando a regra prática (aulas mode: explicação mansa):
- Se
é uma raiz simples (multiplicidade ) do polinômio característico, uma solução independente associada é . - Se
é uma raiz de multiplicidade , então surgem soluções independentes da forma
Em outras palavras, para cada raiz repetida você multiplica por potências sucessivas de
até obter
soluções linearmente independentes.
Passo 4
Por que isso faz sentido (explicação curta e intuitiva): se o operador diferencial linear é
(onde
significa derivar em relação a
), então
. Para múltipla aplicação
precisamos de soluções que, ao serem sujeitas a esse operador, gerem zeros após
aplicações — as funções
têm exatamente essa propriedade: cada aplicação de
reduz o grau do polinômio em
até chegar a zero depois de
aplicações. Isso garante independência linear dessas soluções.
Passo 5
Aplicando a regra ao caso dado: aqui
tem multiplicidade
. Logo as três soluções independentes fundamentais são
A solução geral da EDO homogênea (combinação linear das soluções fundamentais) é
É comum factorizar
e escrever
onde
são constantes arbitrárias (reais ou complexas, conforme o problema). Pequeno exemplo extra para fixar (rápido): se uma EDO tivesse raízes
com multiplicidade
, a solução seria
. Aqui subimos a multiplicidade para
, então temos até
multiplicando
. Você já pode aplicar isso direto em prova: conta multiplicidade, escreve as potências de
até
, multiplica por
, soma com constantes.
Resposta
Ordem:
Solução geral:
Solução geral: