Toda equação polinomial
com grau
tem pelo menos uma raiz.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo polinômio complexo não‐constante tem pelo menos uma solução no conjunto dos números complexos (Teorema Fundamental da Álgebra). Vamos usar o fato de que para |z|→∞ vale |p(z)|→∞ e um argumento de mínimo módulo.
Passo 2
Como |p(z)|→∞ quando |z|→∞, existe um ponto w∈ℂ que minimiza o valor de |p(z)|, ou seja, |p(w)|≤|p(z)| para todo z∈ℂ.
Se |p(w)|=0 então w já é a raiz que buscamos e terminamos. Supondo |p(w)|>0, definimos a função auxiliar
Se |p(w)|=0 então w já é a raiz que buscamos e terminamos. Supondo |p(w)|>0, definimos a função auxiliar
Note que q é um polinômio com q(0)=1 e, como p é de grau n≥1, existe k≥1 tal que ao expandir q em série de potências temos
com c_k≠0.
Passo 3
Escolhemos um valor r>0 pequeno e um ângulo θ de modo que c_k (r e{iθ})k seja real e negativo, isto é,
Para esse z_0=r e^{iθ}, usando desigualdade triangular em q(z_0) obtemos
Como os termos de ordem ≥k+1 são de ordem r^{k+1}, para r suficientemente pequeno essa soma torna-se menor que 1.
Isso implica
Isso implica
contradizendo a escolha de w como ponto de mínimo de |p|. Logo a hipótese |p(w)|>0 é impossível.
Passo 4
Concluímos que |p(w)| deve ser zero. Portanto existe w∈ℂ tal que p(w)=0, ou seja, todo polinômio de grau ≥1 tem pelo menos uma raiz complexa.
Resposta
Qualquer polinômio não‐constante p(z) tem pelo menos uma raiz no conjunto dos números complexos.