Toda equação polinomial p(z)=a0+a1 z+ldots+an z^n=0 com grau n >= 1 e an neq 0 tem pelo menos uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo polinômio complexo não‐constante tem pelo menos uma solução no conjunto dos números complexos (Teorema Fundamental da Álgebra). Vamos usar o fato de que para |z|→∞ vale |p(z)|→∞ e um argumento de mínimo módulo.

Passo 2

Como |p(z)|→∞ quando |z|→∞, existe um ponto w∈ℂ que minimiza o valor de |p(z)|, ou seja, |p(w)|≤|p(z)| para todo z∈ℂ.
Se |p(w)|=0 então w já é a raiz que buscamos e terminamos. Supondo |p(w)|>0, definimos a função auxiliar
q(z)=p(w+z)p(w)
Note que q é um polinômio com q(0)=1 e, como p é de grau n≥1, existe k≥1 tal que ao expandir q em série de potências temos
q(z)=1+ck z^k+ck+1z^k+1+cdots+cn z^n,
com c_k≠0.

Passo 3

Escolhemos um valor r>0 pequeno e um ângulo θ de modo que c_k (r e{iθ})k seja real e negativo, isto é,
ck (r e^iθ)^k=-|ck|r^k
Para esse z_0=r e^{iθ}, usando desigualdade triangular em q(z_0) obtemos
|q(z0)| <= 1 - |ck|r^k + |ck+1|r^k+1+cdots+|cn|r^n
Como os termos de ordem ≥k+1 são de ordem r^{k+1}, para r suficientemente pequeno essa soma torna-se menor que 1.
Isso implica
|p(w+z0)| = |p(w)|,|q(z0)| < |p(w)|,
contradizendo a escolha de w como ponto de mínimo de |p|. Logo a hipótese |p(w)|>0 é impossível.

Passo 4

Concluímos que |p(w)| deve ser zero. Portanto existe w∈ℂ tal que p(w)=0, ou seja, todo polinômio de grau ≥1 tem pelo menos uma raiz complexa.

Resposta

Qualquer polinômio não‐constante p(z) tem pelo menos uma raiz no conjunto dos números complexos.

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