Calcule as séries de Laurent em torno das singularidades indicadas para cada uma das seguintes funções. Em cada caso, verifique qual a singularidade e determine o domínio de convergência de cada série.
z(z+1)(z+2), z=-2 seja z+2=u |u|<1
u-2(u-1) 1=a-uu cdot[11-u]=2-uu(1+u+u^2+ldots)
=2u+1+u+u^2+ldots=2z+2+1+(z+2)+ldots
Converge para 0<|z+2|<1

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent da função f(z)=z(z+1)(z+2) em torno de z=-2. O conteúdo envolve expansão em série de Laurent em torno de uma singularidade isolada. Para isso, vamos usar a mudança de variável u=z+2, decomposição em fração parcial para separar a parte singular e, em seguida, a expansão em série geométrica. Precisaremos identificar também o domínio de convergência, dado pela região onde a série geométrica converge.

Passo 2

Fazendo u=z+2, temos z=u-2. Então
f(z)=z(z+1)(z+2)=u-2(u-1),u

Passo 3

Aplicamos a decomposição em frações parciais:
u-2u(u-1)=Au+Bu-1
Multiplicando por u(u-1) obtém-se
u-2=A(u-1)+B,u
Igualando coeficientes, concluímos A=2 e B=-1. Logo
f(u)=2u-1u-1

Passo 4

Para |u|<1, usamos a expansão geométrica
1u-1=-11-u=-sumn=0^inftyu^n
Assim,
-1u-1=sumn=0^inftyu^n,
e a série de Laurent fica
f(u)=2u+sumn=0^inftyu^n=2u+1+u+u^2+cdots

Passo 5

Voltando à variável original com u=z+2, obtemos
f(z)=2z+2+1+(z+2)+(z+2)^2+cdots
Como usamos a série geométrica para |u|<1 e há singularidade em u=0, o domínio de convergência é
0<|u|<1Long<=ftrightarrow0<|z+2|<1

Resposta

f(z)=2z+2+1+(z+2)+(z+2)^2+cdots,0<|z+2|<1

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