Calcule as séries de Laurent em torno das singularidades indicadas para cada uma das seguintes funções. Em cada caso, verifique qual a singularidade e determine o domínio de convergência de cada série.
seja
Converge para
Converge para
Passo 1
O enunciado pede a série de Laurent da função
em torno de
. O conteúdo envolve expansão em série de Laurent em torno de uma singularidade isolada. Para isso, vamos usar a mudança de variável
, decomposição em fração parcial para separar a parte singular e, em seguida, a expansão em série geométrica. Precisaremos identificar também o domínio de convergência, dado pela região onde a série geométrica converge.
Passo 2
Fazendo
, temos
. Então
Passo 3
Aplicamos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando por
obtém-se
Igualando coeficientes, concluímos
e
. Logo
Passo 4
Para
, usamos a expansão geométrica
Assim,
e a série de Laurent fica
Passo 5
Voltando à variável original com
, obtemos
Como usamos a série geométrica para
e há singularidade em
, o domínio de convergência é