Utilize o método da questão 4 para encontrar a solução geral das equações abaixo.
(d)
, onde
e
são constantes. Esta equação também aparece no estudo da estabilidade do fluxo de fluidos.
(d)
Passo 1
Estamos resolvendo a equação diferencial
do tipo Bernoulli (grau
Passo 2
Primeiro, colocamos na forma padrão de Bernoulli:
Passo 3
Dividimos toda a equação por
(assumindo
) e definimos a nova função
. Como
, calculamos o derivado:
Passo 4
Substituindo
da equação original na expressão de
e reorganizando, obtemos uma equação linear em
:
Passo 5
Para resolver essa linear, calculamos o fator integrante:
Multiplicando a equação por
$$(\mu u)’ = 2\mu(t).
Passo 6
Voltando à variável original:
, tem-se
$$y{-2}=e{-2\Gamma\sin(t)-2Tt}\Bigl(2\int e^{2\Gamma\sin(s)+2Ts},ds + C\Bigr).
Resposta
y(t)=\pm\biggl[e{-2\Gamma\sin(t)-2Tt}\Bigl(2\intt e^{2\Gamma\sin(s)+2Ts},ds + C\Bigr)\biggr]^{-1/2}