Utilize o método da questão 4 para encontrar a solução geral das equações abaixo.
(d) y^prime=[Gamma cos (t)+T] y-y^3, onde Gamma e T são constantes. Esta equação também aparece no estudo da estabilidade do fluxo de fluidos.

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial
y'=l[Gammacos(t)+Tr]y - y^3
do tipo Bernoulli (grau n=3). Para isso vamos usar o método de Bernoulli: transformar a equação numa linear por meio da substituição apropriada.

Passo 2

Primeiro, colocamos na forma padrão de Bernoulli:
y' - l(Gammacos(t)+Tr)y = -y^3

Passo 3

Dividimos toda a equação por y^3 (assumindo yneq0) e definimos a nova função u=y^1-n=y^-2. Como u=y^-2, calculamos o derivado:
u' = -2y^-3y'

Passo 4

Substituindo y' da equação original na expressão de u' e reorganizando, obtemos uma equação linear em u:
u' + 2l(Gammacos(t)+Tr),u = 2

Passo 5

Para resolver essa linear, calculamos o fator integrante:
mu(t)=expl(integral 2l(Gammacos(t)+Tr),dtr)=e^2Gammasin(t)+2Tt
Multiplicando a equação por mu(t) temos
$$(\mu u)’ = 2\mu(t).
(mu u)' = 2mu(t) \mu(t),u(t)=2\int e^{2\Gamma\sin(s)+2Ts},ds + C.$$

Passo 6

Voltando à variável original: u=y^-2, tem-se
$$y{-2}=e{-2\Gamma\sin(t)-2Tt}\Bigl(2\int e^{2\Gamma\sin(s)+2Ts},ds + C\Bigr).
y^-2=e^-2Gammasin(t)-2Ttl(2integral e^2Gammasin(s)+2Ts,ds + Cr) y(t)=\pm\frac{1}{\sqrt{e^{-2\Gamma\sin(t)-2Tt}\bigl(2\int e^{2\Gamma\sin(s)+2Ts},ds + C\bigr)}}.$$

Resposta

y(t)=\pm\biggl[e{-2\Gamma\sin(t)-2Tt}\Bigl(2\intt e^{2\Gamma\sin(s)+2Ts},ds + C\Bigr)\biggr]^{-1/2}

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