Todas as funções abaixo têm como gráficos parábolas cujos vértices estão no primeiro quadrante, exceto:
a) y=-(x+1)(2-x)
b) y=(x+2)(3-x)
c) y=-3 x^2+6 x+7
d) y=2(x-1)^2+3
e) =x^2-20 x+2012

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente olhar cinco funções (todas parábolas) e decidir qual delas não tem vértice no primeiro quadrante (ou seja, um vértice cujo l(xv,yvr) com xv=-tfracb2a e yv=f(xv)).
Conteúdo: parábolas e cálculo de vértice.
O que vamos precisar:
  • Saber que, para , o vértice é e
  • Para funções em forma fatorada, podemos antes expandir pra achar , ou usar que é a média das raízes.

Passo 2

Função (a):
y=-(x+1)(2-x)
  1. Primeiro expandir:
(x+1)(2-x)=2x+2 -x^2 -x=-x^2+x+2,
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y= -l(-x^2+x+2r)=x^2 -x -2
  1. Aqui xv=-b2a=--12cdot1=tfrac12, , yv=fl(tfrac12r)=l(tfrac12r)^2-tfrac12-2 = tfrac14-tfrac12-2 = -tfrac94 , .
Então o vértice é . Repara que , caiu abaixo do eixo .

Passo 3

Função (b):
y=(x+2)(3-x)
Expandindo:
(x+2)(3-x)=3x+6 -x^2 -2x=-x^2+x+6
Logo xv=-12cdot(-1)=tfrac12, yv=-l(tfrac12r)^2 +tfrac12+6 = -tfrac14+tfrac12+6=tfrac25!+!6=6,25 , , .
Vértice está no primeiro quadrante.

Passo 4

Função ©:
y=-3x^2+6x+7
Aqui xv=-62cdot(-3)=1, yv=-3cdot1^2+6cdot1+7= -3+6+7=10 , , .
Vértice também está no primeiro quadrante.

Passo 5

Função (d):
y=2(x-1)^2+3
Está em forma de vértice: , vértice .
Claramente e .

Passo 6

Função (e):
y=x^2-20x+tfrac2012
Aqui xv=--202cdot1=10, yv=10^2-20cdot10+100,5=100-200+100,5=0,5 , , .
Vértice também é do lado positivo dos dois eixos.

Resposta

A única que não tem vértice no primeiro quadrante é a letra (a).

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