TODAS AS OUGSTÓES DEVEM SER JUSTITICADAS.
Resolva as integrais:
Resolva as integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse problema envolve calcular a integral de um produto entre uma função polinomial (
) e uma função exponencial (
). Para resolver isso, vamos usar a técnica da integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções diferentes.
Passo 2
A fórmula da integração por partes é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão atribuídas a $ u $ e $ dv $. A ideia é escolher $ u $ de forma que sua derivada $ du $ seja mais simples, e $ dv $ de modo que sua integral $ v $ seja fácil de encontrar.
Passo 3
Vamos escolher:
- $ u = x $ (porque a derivada de $ x $ é simples)
- $ dv = e^{-x} , dx $ (a exponencial é fácil de integrar)
Passo 4
Agora, vamos calcular $ du $ e $ v $:
- Derivando $ u $: $ du = dx $
- Integrando $ dv $: $ v = \int e^{-x} , dx = -e^{-x} $
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 6
A integral restante é simples de resolver:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão anterior: