TODAS AS OUGSTÓES DEVEM SER JUSTITICADAS.
Resolva as integrais:
integral x e^-x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x e^-x , dx. Esse problema envolve calcular a integral de um produto entre uma função polinomial ( x) e uma função exponencial ( e^-x). Para resolver isso, vamos usar a técnica da integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções diferentes.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão atribuídas a $ u $ e $ dv $. A ideia é escolher $ u $ de forma que sua derivada $ du $ seja mais simples, e $ dv $ de modo que sua integral $ v $ seja fácil de encontrar.

Passo 3

Vamos escolher:
  • $ u = x $ (porque a derivada de $ x $ é simples)
  • $ dv = e^{-x} , dx $ (a exponencial é fácil de integrar)

Passo 4

Agora, vamos calcular $ du $ e $ v $:
  • Derivando $ u $: $ du = dx $
  • Integrando $ dv $: $ v = \int e^{-x} , dx = -e^{-x} $

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x e^-x , dx = u , v - integral v , du = x cdot (-e^-x) - integral (-e^-x) , dx
Simplificando:
= -x e^-x + integral e^-x , dx

Passo 6

A integral restante é simples de resolver:
integral e^-x , dx = -e^-x + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
- x e^-x + (-e^-x) + C = -e^-x (x + 1) + C

Resposta

integral x e^-x , dx = -e^-x (x + 1) + C

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