Em todas as questões da prova, é obrigatório construir os gráficos necessários a elaboração da integral correspondente.
Determine a integral (dupla ou tripla), em coordenadas retangulares, que calcula o volume acima do cone
e abaixo da esfera
.
(obs.: Não é necessário calcular o valor da integral. Basta determiná-la.)
Determine a integral (dupla ou tripla), em coordenadas retangulares, que calcula o volume acima do cone
(obs.: Não é necessário calcular o valor da integral. Basta determiná-la.)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a integral (dupla ou tripla), em coordenadas retangulares, que calcula o volume da região situada acima do cone
e abaixo da esfera
.
Informações dadas e objetivo:
Informações dadas e objetivo:
- Superfície inferior:
(cone com vértice na origem, com ). - Superfície superior:
(esfera de raio centrada na origem). - Objetivo: escrever a integral que dá o volume da região entre essas superfícies, usando coordenadas retangulares (ou seja, expressar em termos de
e com integrais iteradas com limites em e ).
Passo 2
Estratégia geral (ideia que será usada na prova). Para calcular volume por integrais, duas formas equivalentes úteis:
- Forma triple: integrar
sobre a região em 3D: . Numa ordem , isso vira uma integral iterada onde, para cada ponto no domínio de projeção , varia entre a superfície inferior e a superior. - Forma dupla (fatia vertical): projetar
no plano obtendo o domínio . Para cada , a altura da região é . Então
Vou usar essas duas descrições (triple e dupla) porque ambas são pedidas comumente e ambas usam coordenadas retangulares.
Passo 3
Encontrar a curva de interseção entre as duas superfícies para identificar o domínio de projeção
. Igualamos as superfícies:
Substituindo
na equação da esfera:
Daí, na interseção
. Portanto a interseção é a circunferência de raio
ao nível
. A projeção no plano
é o disco de raio
.
Passo 4
Determinar os limites verticais
e
para um ponto
no disco
. Para
com
:
- A superfície inferior (cone) dá
. - A superfície superior (parte superior da esfera) dá
(usa-se a raiz positiva porque estamos acima do plano ).
Verificação rápida de ordem (garantir que o topo é maior que o fundo): para
tem-se
logo
, então a parte da esfera está acima do cone dentro do disco unitário.
Passo 5
Escrever a integral tripla em coordenadas retangulares (ordem
). O domínio de projeção
é o disco
, portanto uma forma iterada em retangulares é:
Passando para integrais iteradas em
e
(descrição retangular do disco):
Passo 6
Escrever a integral dupla (fatia vertical) equivalente: para cada
a altura é a diferença das raízes, então
Em limites retangulares explícitos: