Em todas as questões da prova, é obrigatório construir os gráficos necessários a elaboração da integral correspondente.
Determine a integral (dupla ou tripla), em coordenadas retangulares, que calcula o volume acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e abaixo da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2.
(obs.: Não é necessário calcular o valor da integral. Basta determiná-la.)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a integral (dupla ou tripla), em coordenadas retangulares, que calcula o volume da região situada acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e abaixo da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2.
Informações dadas e objetivo:
  • Superfície inferior: z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (cone com vértice na origem, com z\ge0).
  • Superfície superior: x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 (esfera de raio \sqrt{2} centrada na origem).
  • Objetivo: escrever a integral que dá o volume da região entre essas superfícies, usando coordenadas retangulares (ou seja, expressar em termos de x,y,z e com integrais iteradas com limites em x e y).

Passo 2

Estratégia geral (ideia que será usada na prova). Para calcular volume por integrais, duas formas equivalentes úteis:
  • Forma triple: integrar 1 sobre a região E em 3D: \displaystyle V=\iiint_{E} dV. Numa ordem dz\,dy\,dx, isso vira uma integral iterada onde, para cada ponto (x,y) no domínio de projeção D, z varia entre a superfície inferior e a superior.
  • Forma dupla (fatia vertical): projetar E no plano xy obtendo o domínio D. Para cada (x,y)\in D, a altura da região é z_{\text{top}}-z_{\text{bottom}}. Então
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bottom}}(x,y)\bigr)\,dA.
Vou usar essas duas descrições (triple e dupla) porque ambas são pedidas comumente e ambas usam coordenadas retangulares.

Passo 3

Encontrar a curva de interseção entre as duas superfícies para identificar o domínio de projeção D. Igualamos as superfícies:
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \qquad\text{e}\qquad x^{2}+y^{2}+z^{2}=2.
Substituindo z^{2}=x^{2}+y^{2} na equação da esfera:
x^{2}+y^{2}+(x^{2}+y^{2})=2
2(x^{2}+y^{2})=2
x^{2}+y^{2}=1.
Daí, na interseção z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1}=1. Portanto a interseção é a circunferência de raio 1 ao nível z=1. A projeção no plano xy é o disco de raio 1.

Passo 4

Determinar os limites verticais z_{\text{bottom}} e z_{\text{top}} para um ponto (x,y) no disco D. Para (x,y) com x^{2}+y^{2}\le1:
  • A superfície inferior (cone) dá z_{\text{bottom}}(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A superfície superior (parte superior da esfera) dá z_{\text{top}}(x,y)=\sqrt{2-(x^{2}+y^{2})} (usa-se a raiz positiva porque estamos acima do plano z=0).
Verificação rápida de ordem (garantir que o topo é maior que o fundo): para r^{2}=x^{2}+y^{2}\le1 tem-se
\sqrt{2-r^{2}}\ge\sqrt{2-1}=\sqrt{1}=1\ge r=\sqrt{r^{2}},
logo \sqrt{2-r^{2}}\ge\sqrt{r^{2}}, então a parte da esfera está acima do cone dentro do disco unitário.

Passo 5

Escrever a integral tripla em coordenadas retangulares (ordem dz\,dy\,dx). O domínio de projeção D é o disco x^{2}+y^{2}\le1, portanto uma forma iterada em retangulares é:
V=\iiint_{E} dV
V=\iint_{D}\left(\int_{z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\,\sqrt{2-(x^{2}+y^{2})}} dz\right)dA.
Passando para integrais iteradas em x e y (descrição retangular do disco):
V=\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-(x^{2}+y^{2})}} dz\;dy\;dx.

Passo 6

Escrever a integral dupla (fatia vertical) equivalente: para cada (x,y)\in D a altura é a diferença das raízes, então
V=\iint_{D}\bigl(\sqrt{2-(x^{2}+y^{2})}-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)\,dA.
Em limites retangulares explícitos:
V=\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(\sqrt{2-(x^{2}+y^{2})}-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\,dy\,dx.

Resposta

V=\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-(x^{2}+y^{2})}} dz\;dy\;dx
V=\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(\sqrt{2-(x^{2}+y^{2})}-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\,dy\,dx

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