\lim x->\infty\left(2 x^{\wedge} 2+3 x-5\right) /\left(x^{\wedge} 3+4\right)
1 Multiplique o numerador e o denominador por (\frac{1}{x^{3}}
\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x^{2}+3 x-5}{x^{3}+4}\right) \\\ & \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(2 x^{2}+3 x-5\right) \cdot \frac{1}{x^{3}}}{\left(x^{3}+4\right) \cdot \frac{1}{x^{3}}} \end{aligned}
Simplifique
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}+\frac{-5}{x^{3}}}{1+\frac{4}{x^{3}}})

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+3x-5}{x^{3}+4}.
Informações dadas:
  • Numerador: 2x^{2}+3x-5.
  • Denominador: x^{3}+4.
  • Queremos o comportamento quando x tende para +\infty.

Passo 2

Primeira transformação: dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador, que é x^{3}. Isto é uma técnica padrão para limites de racionais quando x\to\infty. Aplicando multiplicação por \dfrac{1}{x^{3}} obtemos (mostrando a álgebra passo a passo):
\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+3x-5}{x^{3}+4} = \lim_{x\to\infty}\frac{(2x^{2}+3x-5)\cdot\frac{1}{x^{3}}}{(x^{3}+4)\cdot\frac{1}{x^{3}}}.

Passo 3

Simplificando cada termo ao multiplicar por \dfrac{1}{x^{3}}:
\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}-\dfrac{5}{x^{3}}}{1+\dfrac{4}{x^{3}}}.
Explanação didática: cada fração como \dfrac{1}{x^{k}} com k>0 tende a 0 quando x\to\infty. Intuição rápida: conforme x fica maior, o denominador cresce e a fração vai ficando cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 4

Aplicando o limite termo a termo (válido porque somas e quocientes bem comportados permitem isso quando os limites existem):
  • \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2}{x}=0.
  • \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3}{x^{2}}=0.
  • \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{5}{x^{3}}=0.
  • \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{4}{x^{3}}=0.
Portanto o numerador tende a 0+0-0=0 e o denominador tende a 1+0=1.

Passo 5

Com isso:
\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}-\dfrac{5}{x^{3}}}{1+\dfrac{4}{x^{3}}} =\frac{0}{1}=0.
Dica prática para a prova: para racionais entre polinômios, basta comparar os graus. Se o grau do numerador ( 2) for menor que o do denominador ( 3), o limite quando x\to\infty é 0. Isso é mais rápido quando se quer só o resultado.

Resposta

0

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