Em todas as questões da prova, é obrigatório construir os gráficos necessários a elaboração da integral correspondente.
Calcule as integrais:
\iiint_{E}\left(x{2}+y{2}\right) d V), onde E é a região dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1, acima do plano z=0 e abaixo do cone (z=\sqrt{x{2}+y{2}},).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dV,
onde E é a região determinada por: estar dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1, estar acima do plano z=0 e estar abaixo do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • A integral é sobre a região E.
  • A região E é limitada lateralmente pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1.
  • A região E é limitada inferiormente pelo plano z=0.
  • A região E é limitada superiormente pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A função a integrar é x^{2}+y^{2}.
O que se pede: calcular o valor numérico da integral tripla acima e, como o enunciado exige, construir (descrever) os gráficos superfícies que definem a região para montar a integral correspondente.

Passo 2

Construção/descrição dos gráficos que definem a região E:
  • O cilindro x^{2}+y^{2}=1 é um cilindro circular reto de eixo no eixo z, com raio 1. No plano xy corresponde ao círculo de raio 1.
  • O plano z=0 é o plano horizontal que corta o cilindro na base; é a “chão” da região.
  • O cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} é um cone reto que tem vértice na origem e abre para cima; em coordenadas polares esse cone é z=r (veja mais adiante). A interseção do cone com o cilindro ocorre quando r=1, isto é, na circunferência x^{2}+y^{2}=1 com z=1. Portanto, a superfície superior sobre o disco x^{2}+y^{2}\le1 é a porção do cone que vai de z=0 no centro até z=1 na borda.
  • Geometricamente, E é o sólido dentro do cilindro de raio 1, por baixo do cone inclinado z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e por cima do plano z=0: imagine um “chapéu” cônico apoiado na base circular de raio 1.
Essa descrição já fornece as fronteiras que vão determinar os limites de integração.

Passo 3

Escolha do sistema de coordenadas e formulação do integrando na nova coordenada:
Justificativa e definição dos símbolos:
  • Por simetria radial (presença do cilindro e da expressão x^{2}+y^{2}), é muito mais simples usar coordenadas cilíndricas (polares no plano xy com z igual).
  • Em coordenadas cilíndricas definimos:
    • x = r\cos\theta,
    • y = r\sin\theta,
    • z = z,
      onde r\ge0 é a distância ao eixo z no plano xy e \theta é o ângulo polar.
  • Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume vale dV = r\,dz\,dr\,d\theta. Explico por que: ao parametrizar o plano por (r,\theta) a área de um pequeno retângulo polar é aproximadamente r\,dr\,d\theta; incluindo a variação em z multiplica por dz.
  • A função a integrar transforma-se facilmente: x^{2}+y^{2}=r^{2}. Portanto o integrando \left(x^{2}+y^{2}\right)\,dV vira r^{2}\cdot (r\,dz\,dr\,d\theta) = r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Determinação dos limites de integração:
  • Para \theta: como o cilindro é completo e a região é todo o disco de raio 1 no plano xy, o ângulo percorre toda a volta: 0 \le \theta \le 2\pi.
  • Para r: dentro do cilindro x^{2}+y^{2}\le1 tem-se 0 \le r \le 1.
  • Para z: a região está acima do plano z=0 e abaixo do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r. Assim, para um dado (r,\theta) fixo, z varia de 0 \le z \le r.
Portanto a integral tripla em cilíndricas fica (montagem da integral):
\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{r} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Cálculo da integral por etapas (mostrar todas as contas):
  1. Integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{r} r^{3}\,dz = r^{3}\bigg[z\bigg]_{0}^{r} = r^{3}\cdot r = r^{4}.
Explanação: aqui r é tratado como constante na integração em z.
  1. Agora integramos em r:
\int_{r=0}^{1} r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}.
Explicando: a primitiva de r^{4} é \tfrac{r^{5}}{5}.
  1. Finalmente integramos em \theta:
\int_{\theta=0}^{2\pi} \frac{1}{5}\,d\theta = \frac{1}{5}\cdot \big(2\pi-0\big) = \frac{2\pi}{5}.

Passo 6

Pequena verificação de consistência (checape mental):
  • O valor obtido é positivo e de ordem de \pi, o que faz sentido para uma integral radial sobre um sólido de raio 1.
  • Opcionalmente, o volume da mesma região (integrando 1 em E) seria \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{r} r\,dz\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{3}\,d\theta = \frac{2\pi}{3}.Assim a média espacial de x^{2}+y^{2} sobre E seria \dfrac{(2\pi/5)}{(2\pi/3)}=\dfrac{3}{5}, um valor razoável entre 0 e 1.

Resposta

\dfrac{2\pi}{5}

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