Em todas as questões da prova, é obrigatório construir os gráficos necessários a elaboração da integral correspondente.
Calcule as integrais:
\iiint_{E}\left(x{2}+y{2}\right) d V), onde
é a região dentro do cilindro
, acima do plano
e abaixo do cone (z=\sqrt{x{2}+y{2}},).
Calcule as integrais:
\iiint_{E}\left(x{2}+y{2}\right) d V), onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a região determinada por: estar dentro do cilindro
, estar acima do plano
e estar abaixo do cone
.
Informações dadas:
- A integral é sobre a região
. - A região
é limitada lateralmente pelo cilindro . - A região
é limitada inferiormente pelo plano . - A região
é limitada superiormente pelo cone . - A função a integrar é
.
O que se pede: calcular o valor numérico da integral tripla acima e, como o enunciado exige, construir (descrever) os gráficos superfícies que definem a região para montar a integral correspondente.
Passo 2
Construção/descrição dos gráficos que definem a região
:
- O cilindro
é um cilindro circular reto de eixo no eixo , com raio . No plano corresponde ao círculo de raio . - O plano
é o plano horizontal que corta o cilindro na base; é a “chão” da região. - O cone
é um cone reto que tem vértice na origem e abre para cima; em coordenadas polares esse cone é (veja mais adiante). A interseção do cone com o cilindro ocorre quando , isto é, na circunferência com . Portanto, a superfície superior sobre o disco é a porção do cone que vai de no centro até na borda. - Geometricamente,
é o sólido dentro do cilindro de raio , por baixo do cone inclinado e por cima do plano : imagine um “chapéu” cônico apoiado na base circular de raio .
Essa descrição já fornece as fronteiras que vão determinar os limites de integração.
Passo 3
Escolha do sistema de coordenadas e formulação do integrando na nova coordenada:
Justificativa e definição dos símbolos:
- Por simetria radial (presença do cilindro e da expressão
), é muito mais simples usar coordenadas cilíndricas (polares no plano com igual). - Em coordenadas cilíndricas definimos:
-
, -
, -
,
ondeé a distância ao eixo no plano e é o ângulo polar.
-
- Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume vale
. Explico por que: ao parametrizar o plano por a área de um pequeno retângulo polar é aproximadamente ; incluindo a variação em multiplica por . - A função a integrar transforma-se facilmente:
. Portanto o integrando vira .
Passo 4
Determinação dos limites de integração:
- Para
: como o cilindro é completo e a região é todo o disco de raio no plano , o ângulo percorre toda a volta: - Para
: dentro do cilindro tem-se . - Para
: a região está acima do plano e abaixo do cone . Assim, para um dado fixo, varia de
Portanto a integral tripla em cilíndricas fica (montagem da integral):
Passo 5
Cálculo da integral por etapas (mostrar todas as contas):
- Integramos primeiro em
:
Explanação: aqui
é tratado como constante na integração em
.
- Agora integramos em
:
Explicando: a primitiva de
é
.
- Finalmente integramos em
:
Passo 6
Pequena verificação de consistência (checape mental):
- O valor obtido é positivo e de ordem de
, o que faz sentido para uma integral radial sobre um sólido de raio . - Opcionalmente, o volume da mesma região (integrando
em ) seria Assim a média espacial de sobre seria , um valor razoável entre e .